Komplekse tal

z= x+iy  r² = x²+y²    cos(θ) =x/r   sin(θ) = y/r

hmmm, også hvad jeg gør, men får vinklen til 0,34 og har regnet i radianer

Formlen er helt uafhængig af om du regner i radianer eller ej. Noget andet er at i komplekse tal er vinklen altid i radianer.

Når jeg fx regner:  (radianer)  tan^-1(1/-1) får jeg -0,7853

tidligere havdet jeg fået -45 grader

Men kan ikke se min fejl?

det selvfølgelig 45 og ikke -45

Du kan ikke se dine fejl fordi der ikke er nogen. Den samme vinkel giver forskellige tal hvis den måles i radianer eller i grader. Skrevet mere præcist ud er -π/4

I nogle tilfælde kan man bruge tan^-1 til at finde vinklen. men andre steder er den angivet med fx cos^-1 eller sin^-1 henholdsvis x og y

Hvorfor dette?

Du kan bruge alle de 3 muligheder. se #1  Du skal lige være opmærksom på at at en ligning som tan(θ) = 1 eller cos(θ) =½ har flere løsninger. Du er nød til at se på fortegnene i ligningen i #1 for at se hvilken kvadrant vinklen ligger i

#8

Se udtrykkene i #1. Man bør benytte både cos(θ) og sin(θ) til entydigt at bestemme argumentet θ i intervallet [0;2π[ . Man har   cos(θ) = x/r  og  sin(θ) = y/r , og deraf følger jo så, at  tan(θ) = y/x . Men da tan(θ) er periodisk med perioden π , giver tan(θ) alene ikke entydigt argumentet θ i intervallet [0;2π[ , men kun i intervallet ]-π/2;π/2[ .

De polære koordinater er det ikke bare, fx:

5 + 3i

2 - 4i 

?

#11

Disse tal er givet på rektangulær form, og man skal beregne de polære koordinater, dvs. modulus r og argument θ.

Tak

#10 

Jeg tænker, at komplekse tal kan repræsenteres af stedvektorer i
et koordinatsystem med reelle tal på førsteaksen og imaginære tal
på andenaksen (hedder det ikke et Gaussisk talplan?).
Dermed vil et tal som 5+3i (jf #11) kunne repræsenteres af en stedvektor,
der er beliggende i første kvadrant, da både 5 og 3 er positive, - vinklen ift. førsteaksen
(argumentet) kan bestemmes med tangens, vi ved jo, hvor den ligger.

Bare en tanke

#14

Der er det jo så netop kendskabet til både cos(θ) og sin(θ), der viser, at det komplekse tal er beliggende i 1. kvadrant. Min pointe er, at beregning af tan(θ) alene ikke kan fastlægge argumentet θ entydigt. Jeg ser tit i opgaver af denne natur, at folk bare beregner tan(θ) og så θ og så færdig uden at argumentere for udvælglsen af den korrekte løsning.

Benytter man både cos(θ) og sin(θ), får man argumentet θ entydigt i intervallet [0;2π[ . Jeg siger ikke, at man nødvendigvis skal beregne θ både ved at bruge cos^-1() og sin^-1(), men man benytter kendskabet til både cos(θ) og sin(θ) til at afgøre, hvilken af løsningerne til cos(θ) = x/r eller sin(θ) = y/r , der skal benyttes. Benytter man tan(θ) = y/x , er der generelt også to løsninger i [0;2π[, og man skal benytte i det mindste fortegnene for både cos(θ) og sin(θ) til at afgøre, hvilken af de to løsninger, der er den korrekte.