Matematik

Komplekse tal

12. september 2014 af bananman (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej :-)

Hvordan er det man udtrykker et kompleks tal til rektangulært form og polær form, der både indeholder e og skal divideres? Altså sådan et kompleks tal:

$e^(6+1+I2\pi)/(3-2I)$

Jeg ved jeg kan starte med at sige $e^(7+I2\pi)$

Står den så ikke på rektangulært form når den er således:

$e^(7+I2\pi)/(3-2I)$

Eller skal brøkken forlænges?

Brugbart svar (0)

Svar #1
12. september 2014 af Andersen11 (Slettet)

Bemærk, at e^i·2π = 1 , så tallet er det samme tal som

e⁷ / (3 - 2i)

Forlæng brøken med nævnerens kompleks konjugerede tal. Derved bliver nævneren reel.

Brugbart svar (0)

Svar #2
12. september 2014 af Andersen11 (Slettet)

Rektangulær form for et kompleks tal z:

z = a + b·i

hvor a og b er reelle tal.

Svar #3
12. september 2014 af bananman (Slettet)

Hvor er det ikke e^8 , da 6+1+1 er 8?

Brugbart svar (0)

Svar #4
12. september 2014 af Andersen11 (Slettet)

Hvor ser du 6+1+1 i den oprindelige opgaveformulering?

Svar #5
12. september 2014 af bananman (Slettet)

6 og 1 står der og i2pi = 1

Brugbart svar (0)

Svar #6
13. september 2014 af Andersen11 (Slettet)

i·2π er da ikke lig med 1.

Men

e^6+1+i·2π = e⁶⁺¹ · e^i·2π = e⁷ · 1 = e⁷ .

Svar #7
13. september 2014 af bananman (Slettet)

Hvordan fås den polære form?

ved at følge z=|z| e^(iarg(z)) ?

Brugbart svar (0)

Svar #8
13. september 2014 af Andersen11 (Slettet)

For et komplekst tal

z = a + ib

beregnes modulus r og argument φ ved

r = √(a² + b²) ,

cos(φ) = x/r , sin(φ) = y/r , r > 0 .

Man har da

z = a + ib = r·e^iφ .

Svar #9
13. september 2014 af bananman (Slettet)

Hvordan inkluderer jeg nævneren når jeg skal udtrykke i polær form?

Svar #10
13. september 2014 af bananman (Slettet)

fik den rektangulær form til at være

(3/13)*e^7+(2/13*I)*e^7

Hvordan får jeg så den polær form?

Brugbart svar (0)

Svar #11
13. september 2014 af Andersen11 (Slettet)

#10

Læs forklaringen i #8. Her er a = (3/13)·e⁷ og b = (2/13)·e⁷ .

Svar #12
13. september 2014 af bananman (Slettet)

hvad er x og y så?

Brugbart svar (0)

Svar #13
13. september 2014 af Andersen11 (Slettet)

#12

Benyt x = a, y = b

cos(φ) = a/r , sin(φ) = b/r , r > 0 .

Fremgangsmåden er vel også beskrevet i din bog?

Svar #14
13. september 2014 af bananman (Slettet)

Får r til at være 304,2

Svar #15
13. september 2014 af bananman (Slettet)

Jo, men ikke på samme måde

Brugbart svar (0)

Svar #16
13. september 2014 af Andersen11 (Slettet)

#14

Man får r = e⁷ / √13 . Angiv altid den eksakte værdi.

Svar #17
13. september 2014 af bananman (Slettet)

Har prøvet at tjekke med Maple, der får jeg polær formen til:

(3/13)*e^7+(2/13*I)*e^7, (3/13)*e^7+(2/13*I)*e^7

Brugbart svar (0)

Svar #18
13. september 2014 af Andersen11 (Slettet)

#17

Man bestemmer så argumentet φ af

cos(φ) = 3/√13 , sin(φ) = 2/√13 ,

dvs.

φ = tan^-1(2/3) = 0,588003 ,

dvs

z = (e⁷/√13) · e^{i·tan^(-1)(2/3)} ≈ 304,1513 · e^i·0,588003 .

Skriv et svar til: Komplekse tal

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.