Vis, at det er en konstant funktion

(a) Man kan benytte et bevis analogt til beviset for Liouvilles teorem på funktionen g(z) = f(z²) . Da f(z) er en hel funktion, har man    f(z) = ∑^∞_k=0 a_kz^k og dermed g(z) = f(z²) = ∑^∞_k=0 a_kz^2k

#1

a) |f⁽ⁿ⁾(0)| = | (n!/2πi) ∫_∂K(0,r) f(z²)/zⁿ⁺¹ dz | ≤ (n!/2πi)  ([3|z|^3/2 + 4]/rⁿ⁺¹) ∫_∂K(0,r) dz

                = (n!/2πi) ([3|z|^3/2 + 4]/rⁿ⁺¹) 2πr = n![3|z|^3/2 + 4]/rⁿ, og

da r → ∞, har vi |f⁽ⁿ⁾(0)| = 0 for alle n≥1, dvs. f⁽ⁿ⁾(0) = 0 for alle n≥1. Eftersom en hel funktion f(z²) er begrænset, er f(z²) konstant. Korrekt?

#2

Ja, men man skal lave betragtningen på funktionen g(z) = f(z²) . Man har så

        |a_k| ≤ (1/(2π))·(3r^3/2+4)/r^2k+1 · 2πr = (3r^3/2+4)/r^2k → 0 for r → ∞ , når 2k > 3/2 , dvs k ≥ 1 .

Altså er f(z) en konstant funktion.

(b) Her betragter man funktionen f(z) = e^g(z) . Ved at benytte fremgangsmåden i Liouville's teorem sammen med

         |Re(g(z))| ≤ 2·ln(|z|+1)

kan man vise, at f(z) må være et polynomium af grad højst 2, og da f(z) = e^g(z) ≠ 0 for alle z , har polynomiet
f(z) ingen rødder, og f(z) må derfor være konstant, og derfor må g(z) også være konstant.

#3

OK. Hvis g(z) er konstant, konkluderer man så, at f(z) også er det, når g(z) = f(z²)?

Vi lader k(z) = e^g(z) = ∑^∞_k=0 b_kz^k. Man har |k(z)| = |e^g(z)| ≤ e^{2ln(|z| + 1)}. Vi får

 |b_k| ≤ (1/(2π))·e^{2ln(|r| + 1)}/ r^k+1 · 2πr = e^{2ln(|r| + 1)}/ r^k  → 0 for  r → ∞, når k≥ 1.

#5

Man konkluderer ikke, at g(z) er konstant, men at alle a_k = 0 for k ≥ 1 . Bemærk at a_k er koefficienterne i rækken for funktionen f(z). De anvendes så på funktionen g(z) = f(z²), se #1, fordi vi har en vurdering
for |f(z²)| . Og derfor er f(z) konstant.

#4

Jeg er ikke helt med på det, for der findes rødder for f(z). Hvor kommer ideen fra, at funktionen f skal være forskelligt fra nul? Hvis f(z) = e^g(z), så er |f(z)| = e^Re(g(z)) ≤ e^2·ln(|z|+1) = (|z| + 1)².

Hvordan viser man, om f(z) er konstant ved brug af Liouville's teorem før jeg kan sige om g(z)?

Ved brug af Theoremet, får vi |b_k| ≤ (r + 1)²/r^k hvilket går imod 0 for k gående mod uendelig, hvis k > 2. 

#7

Ligningen e^w = 0 har ingen løsninger i C . Derfor har ligningen f(z) = e^g(z) = 0 ingen løsninger i C .

Ja, netop, koefficienterne i rækken for f(z) er alle 0, pånær b₀, b₁, og b₂. Derfor er f(z) et polynomium af grad højst 2:

        f(z) = b₀ + b₁z + b₂z² = e^g(z) ≠ 0 .

Et polynomium af grad højst 2, der ikke har nogen rødder, må være en konstant b₀ ≠ 0 .

#8 OK mange tak for hjælpen. Jeg tror jeg har forstået det. 

I #3 skriver du til sidst "... når 2k > 3/2 , dvs k ≥ 1", hvorfor? Har du valgt at sætte k > 3/4 til k ≥ 1 for at "afrunde" det til det tætteste tal, således at k ∈ N?

#9

k er jo et ikke-negativt heltal.