Nulpunkt tredjegradpolynomium

En heltallig reel rod x₁ falder straks i øjnene.
Dividér polynomiet med (x - x₁)
og overbevis dig om, at kvotienten ikke har reelle rødder.

Foretag et gæt på roden x₁ (fx 1) og undersøg, om det "passer" :-)

Det gælder generelt for et polynomium p(x) , at hvis summen af dets koefficienter er lig med 0, er 1 en rod i polynomiet.

En alternativ metode vil være at beregne antallet polynomiets reelle løsninger eller komplekse løsninger, er ved at beregne dets diskriminant.

En tredjegradspolynonium på standardsformen :  p(x) = ax³ + bx² + cx + d 

har diskriminanten 

Hvis diskrimanten, D < 0 , har tredjegradspolynomiet en reel rod samt to komplekse rødder. 

hvilket det oplyste tredjegradspolynomie opfylder, da D = -71 < 0
 

Du kan også differentiere polynomiet og se, om den afledede har reelle rødder. Har det ikke det, har den afledede samme fortegn overalt og det oprindelige polynomium er strengt monotont, hvorfor det kun har én rod.

Denne metode lider dog af den svaghed, at hvis den afledede har reelle rødder, kan man ikke slutte, at det oprindelige polynomium har mere end én rod.

Dm(f) = Vm(f) = R
Man kan også vise, at grafen for funktionen er monoton og uden saddelpunkt i hele Dm(f) og derfor har netop ét 0-punkt.
(Indlægget skrevet samtidig med ovenstående indlæg).

#5

Dit svar er korrekt, men metoden er ikke udtømmende i den forstand, at et polynomium udmærket kan have lokale ekstrema og alligevel kun have én reel rod. Det er for eksempel tilfældet med polynomiet i opgaven her eller med polynomiet   g(x) = x·(x-1)·(x-2) + 1 .

Opgaven er uden hjælpemidler, så jeg tænker at bl.a. svar 1 er relevant, men jeg forstår det ikke helt :-(

#8

Ja, det er korrekt. Polynomiet opfylder forudsætningen der nævnes i #3. Summen af koefficienterne i polynomiet er lig med 0, hvor x = 1 er en rod i polynomiet. Man kan derfor foretage polynomiers division med divisoren (x-1) og finder

        x³ - 5x² +10x -6 = (x² -4x + 6)(x - 1) = (x² -4x +4 +2)·(x-1) = ((x-2)² + 2)·(x-1)

Eftersom polynomiet (x-2)² + 2 > 0 for alle x, er det kun polynomiet x-1 , der kan bidrage med reelle rødder.

Tak for svaret :-) Andersen11