vektorer i rummet

4. Når jeg skal finde kernen for f løser jeg et homogent ligningsystem med eFe dvs jeg gauss eliminere en matrix som består af eFa på venstre og b=(0,0,0) på venstre. Jeg får at løsningen er 1 taller i diagonalet og nuller over og under.

Hvordan kan jeg angive en basis ud fra det, og er det korrekt? 

Du roder rundt med betegnelserne, så det er svært eller umuligt at læse. Hvad mener du i 1. med aFa ?

Højre side igen hvad mener du? Hvis du mener med f(a1) at den første søjle er søjlen for f(a1) har du ret; men husk at vær opmærksom på hvilken basis du bruger

2. Hvad mener du med aX og  a i f(a) = 0 ?. Hvis du skal vise at en vektor x ligger i kernen skal du vise at f(x) = 0.  Jeg har ikke regnet det hele igennem, men der hvor jeg har regnet stemmer det. Hvad har du præcist gjort?

3. Igen hvad mener du ? Du skal opstille en matrix for funktionen i basis (1,0,0) , (0,1,0) og (0,0,1)

4.Hvad mener du med eFe og aFa.? Du skal løse ligningen f(x) = 0

5. Du finder billedmængden ved at finde billedet af vektorer, som er lineært uafhængige og ikke ligger i kernen. Det giver en basis for billedmængden.

Jeg vedhæfter lige opgaverne, så er det nemmere, at forstå mine formuleringer :) 

Jeg kan kun se nogle begrænsede billedudsnit, som ikke siger mig mere end din tekst

opgave 1)

a) ja de er lineært uafhængige, da de udspænder et areal.

b) aFa er afbildningsmatricen med hensyn til basis a. Den skal jeg angive. Den har jeg angivet som: 

[f(a1) f(a2) f(a3) ] , hvor f(a1) f(a2) og f(a3) opstilles som søjler. Desuden skal jeg vise at 2a1+5a2-a3 tilhører kernen for f . Jeg prøver at løse f(x)=0. Jeg skal altså lave en vektor (2,5,-3) og gange den ind i afbildningsmatricen aFa og resultatet skal være (0,0,0). Det giver bare (-8,6,-8) i mit tilfælde, og det forstår jeg ikke. 

c) Jeg skal bestemme afbildningsmatricen f mht standerdbasis for R^3. Skal jeg så opstiller søjler ud fra vektorsættet a? Altså [ a1 a2 a3] ? Hvis ja, hvordan kan man se at de er standardbaser?

d)  For at finde kernen for f løser jeg f(x)=0. Jeg bruger så afbildningsmatricen fra c) og sætter højrematricen til b=(0,0,0).  Så får jeg 1-taller i diagonalen og resten er nuller. Spørgsmålet er så bare, hvordan jeg kan aflæse disse baser ud fra matricen? 

Jeg skal også løse billedrummet f(x)=b. Så jeg bruger afbildningsmatricen fra b) altså aFa og gausser den ned. 

er dette korrekt? :)

b) Du har lavet en fejl et eller andet sted. Det kan være ved dannelse af matrice eller ved at finde f(2a1)+5a2-a3)). Den kan du også vise uden at bruge din fundne matrix. Der gælder

f/2a1+5a2-a3) = 2*f(a1)+5*f(a2)-f(a3)  hvor du så direkte kan indsætte definitionen af f(x). Ved at gøre det kan du forhåbentlig også finde, hvor din fejl er.

c) Jeg kalder standartbasisen e₁, e₂, e₃ hvor e₁ = (1, 0, 0). Du skal så finde f(e₁) ... i denne basis. Det kan også gøres ved at finde transformationsmatricen.

d) Du skal ikke have en diagonal. Du skal have nogle vektorer.

e) Du skal ikke løse ligningen f(x) = b og hvad er b ? Du kan evt. sige at du skal finde de b'er som er billedet af et eller andet x. Gør hellere som jeg skrev i #2. Find billedet af basisvektorerne og find det vektorrum disse billeder udspænder.

#6:

b) fandt min tastfejl :-) jeg skal jo gange den ind i (2,5,-1). Jeg kom til at indtaste (2,5,-3). 

c) er det så denne matrix når man sætter den ind i maple:

eFe:=Matrix(3,3,[-1,1,2,2,-1,-2,0,0,-1]);

Jeg har fundet den ud fra vektorsættet a1, a2 og a3. 

fejl i #8

jeg mente jeg skal finde eMa*aFa*aMe, ikke? 

Jeg er ikke rigtig med på, hvad du skriver i #8. Hvis du kender transformationsmatricen S mellem basisvektorerne kan den nye matrix findes som S^-1*F*S

#6:

"e) Du skal ikke løse ligningen f(x) = b og hvad er b ? Du kan evt. sige at du skal finde de b'er som er billedet af et eller andet x. Gør hellere som jeg skrev i #2. Find billedet af basisvektorerne og find det vektorrum disse billeder udspænde"

Kan jeg så ikke reducere afbildningsmatricen aFa, altså¨afbildningsmatricen gående fra basis a til a? 

Hvordan ville du gøre? Jeg får at den udspændes af baserne (-3,1,-3), (2, -1, 2)