Matematik

Integral

08. november 2014 af Jegharbrugforhjælpp (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej. Jeg har dette integral $\int_{0}^{pi/4}\frac{x}{1+x^2}dx$

Hvordan løser jeg denne?
Har formlen F(b) - F(a), kan kan godt finde ud af at bruge den, men hvordan ved jeg om der skal anvedes substitutionsmetoden eller partiel integration?
Har prøvet med begge, men kommer ikke frem til det.

Brugbart svar (0)

Svar #1
08. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

Benyt substitutionen u = 1 + x², du = 2x dx , så x dx = (1/2) du .

Svar #2
08. november 2014 af Jegharbrugforhjælpp (Slettet)

Tak :-) Hvordan ved man hvilken metode der skal anvedes?

Brugbart svar (0)

Svar #3
08. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

Man er nødt til at se på funktionens forskrift. Da d(x²) = 2x dx , er det oplagt at benytte substition med noget hvori der indgår x².

Brugbart svar (0)

Svar #4
08. november 2014 af SuneChr

Når man generelt har en polynomiumsbrøk, som skal integreres, hvor nævnerens differentialkvotient er lig med en konstant gange tællerpolynomiet, kan substitution benyttes.

Svar #5
08. november 2014 af Jegharbrugforhjælpp (Slettet)

Mange tak!

Svar #6
08. november 2014 af Jegharbrugforhjælpp (Slettet)

Så jeg vil have:

$\int_{0}^{pi/4} \frac{u}{1+u^2}$

Hvad skal jeg dernæst?

Brugbart svar (0)

Svar #7
08. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

Nej, du skal foretage substitutionen som foreslået i #1. Grænserne skal så ændres tilsvarende.

$\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{x}{1+x^{2}}\, \textup{d}x=\int_{1}^{1+\left ( \frac{\pi }{4} \right )^{2}}\frac{1}2{}\frac{\textup{d}u}{u}$

Svar #8
09. november 2014 af Jegharbrugforhjælpp (Slettet)

jeg får det det $\int_{1)}^{(pi/4)^2 +1 } \frac{x}{u}\frac{1}{2x} du$

???

Brugbart svar (0)

Svar #9
09. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

Nej, du må ikke blande de to variable. Man substituerer, dvs. man er statter alle udtryk i den gamle variabel x med tilsvarende udtryk i den nye variabel u. Her kan du jo se, at man kan forkorte x væk, så det passer med integralet i #7.

Når nu du gør dig den ulejlighed at bruge LaTeX-formelskriveren, burde du også sætte det græske bogstav π ind i stedet for at skrive pi.

Svar #10
09. november 2014 af Jegharbrugforhjælpp (Slettet)

Tak for dit svar.
men kan ikke se hvordan jeg kommer videre herfra: (

Brugbart svar (0)

Svar #11
09. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

#10

Man benytter så stamfunktionen ∫ du/u = ln(u) og indsætter grænserne heri.

Svar #12
09. november 2014 af Jegharbrugforhjælpp (Slettet)

Jamen, skal jeg da netop ikke bruge kædereglen her?

$\int_{a}^{b} f(g(x))*g' (x)$

Brugbart svar (0)

Svar #13
09. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

#12

Nej, den er der da ikke længere brug for, når man nu har jo foretaget substitutionen. Kædereglen bruges mens man foretager substitutionen.

Svar #14
09. november 2014 af Jegharbrugforhjælpp (Slettet)

Mir udtryk ligner #7. pånær at at jeg 1/U med, efter jeg har reduceret

Brugbart svar (0)

Svar #15
09. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

#14

Jeg forstår ikke, hvad du mener. Dit udtryk i #8 er det samme som udtrykket i #7, når x forkortes væk. Benyt så stamfunktionen i #11.

Svar #16
09. november 2014 af Jegharbrugforhjælpp (Slettet)

Det forstår jeg ikke :(

Skal jeg ikke bare sætte mine nye græser ind på u's plas og derefter regne det ud??

Brugbart svar (0)

Svar #17
09. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

#16

Jo, man indsætter jo u-grænserne i stamfunktionen.

$\newline\newline \int_{1}^{1+\left ( \frac{\pi }{4} \right )^{2}}\frac{1}{2}\cdot \frac{\textup{d}u}{u}=\left [ \frac{1}{2}\ln u \right ]_{1}^{1+\left ( \frac{\pi }{4} \right )^{2}} \newline\newline =\frac{1}{2}\ln\left ( 1+\left ( \frac{\pi }{4} \right )^{2} \right )=\frac{1}{2}\ln (16+\pi ^{2})-2\cdot \ln 2$

Skriv et svar til: Integral

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.