Kombinatorik

Hvad gøres der af sedlerne, som hver personer udtager? Er du helt sikker på at produktet af de to udvalgte tal skal være divisor i 6?

Umiddelbart tænker jeg, at du skal primfaktoropløse de tal mellem 0 og 60
som 6 går op i (6 - 12 - 18 - 24 - 30 - 36 - 42 - 48 - 54 - 60)
Bestem dernæst divisorerne for disse tal

fx er divisorerne til 18:    1, 2, 3, 6, 9, 18

Start med de tal, der har flest divisorer og "snup" de divisorer fra kasserne,
der kan danne tallene, - husk at der ikke er tale om tilbagelægning.
Mon ikke det giver max 40?

Det er det, jeg umiddelbart tænker (men ingen garanti)

#1

Personerne beholder sedlerne, og jeg er helt sikker på, at produktet af de to tal skal være divisor i 6.

#2

Det prøver jeg lige :p

#3 det giver ikke mening, at produktet skal være divisor i 6, - omvendt virker mere logisk :-)

#3 : Således er der kun 2 personer, der kan opnå en sodavand, da det er kun og kun produktet mellem 1 og 6 samt 2 og 3, der vil være divisor i 6. 

#4 og #5

Ups, ja, jeg mente, at 6 skal være divisor i produktet :-)

#5 faktisk ville max 4 personer kunne få en sodavand, idet:

1·6
6·1
2·3
3·2

går op i seks og alle kan optræde samtidig
1·1 - 1·2 - 2·1 - 1·3 - 3·1
går også op i 6, men kan ikke optræde sammen med førnævnte (tallene er brugt)

Der er garanteret en s.... smart måde at gøre det på...
lad os få Andersen11 "på banen", han er rigtig skrap til
sådan noget :-)

Jeg er ikke helt sikker på, om det her passer, men det er lige hvad jeg kunne tænke mig frem til:

Jeg fandt divisorerne til alle tal i sekstabellen mellem 6 og 60 - der var i alt 25 forskellige tal. 10 af dem kan allerede divideres med 6 (6, 12, 18...) , og derfor ville et hvilket som helst produkt af dem også kunne deles med 6. Da hvert af disse tal eksisterer to gange - hvert tal ligger i to kasser - er der i alt maks. 20 personer, der kan trække disse tal, og dermed få en sodavand for det. 

Der er så 15 unikke tal tilbage, der ikke i sig selv kan deles med seks, men som kan, hvis de ganges med nogle helt specifikke tal. De 15 tal er: 1 2 3 4 5 7 8 9 10 14 15 16 20 21 27. 1 kan fjernes, fordi alle tal ganget med 1 skal allerede være i sekstabellen, for at være deleligt med 6. Det efterlader 14 tal. Så er det vel "bare" at finde mængden af mulige kombinationer af disse 14 tal, for at finde det samlede antal af uddelte sodavand? - men det ved jeg så ikke, hvordan man gør.

For at 6 går op i produktet a*b, så må 2 og 3 være divisorer i ab.
Dvs. at 2 er divisor i a eller b (evt. begge),  og 3 er divisor i a eller b (evt. begge).

2 er divisor i hvert andet tal, altså i 30 af tallene 1-60, nemlig de lige tal.
3 er divisor i hvert tredje tal, altså i 20 af tallene 1-60, nemlig 3, 6, 9, 12, ..., 60.
(I hvert sjette tal er både 2 og 3 divisor, så der er 30-10=20 lige tal, som ikke har 3-divisor).

Der er altså 20 muligheder for at trække en 3-divisor på højre seddel,
og 20 muligheder for at trække en 3-divisor på venstre seddel.
I alt 40 muligheder.

Produktet er deleligt med 6, hvis 
1) 6 går op i et eller begge tal eller
2) 2 går op i det ene og 3 i det andet (uden at 6 går op i nogen af dem). 

Mellem 1 og 60 er der ...
(a) 10 tal, som 6 går op i.
(b) 10 tal hvor 3 går op uden at 6 gør (ulige tal delelige med 3).
(c) 20 tal, som 2 går op i uden at 6 gør
(d) 20 tal, som hverken 2 eller 3 går op i (og dermed heller ikke 6).

Kategorierne (a) og (b) virker her som den begrænsende faktor, idet de indeholder færrest tal og sætter derfor grænsen for det maksimale antal personer med en rigtig kombination. Dette bliver derfor 10 +10 for den ene krukke og det samme for den anden, dvs. 40 i alt. Dette forudsætter at alle tal fra (b) kombineres med tal fra (c) og ingen fra (a) kombineres med (a) fra den anden krukke.

Hvis alle tal fra (a) i en krukke kombineres med tal fra (a) i den anden og (b) kombineres med (d) vil der kun blive 10 heldige, hvilket er det mindst mulige antal.