Matematik

Kombinatorik

15. november 2014 af Matematikøkonomen (Slettet) - Niveau: 10. klasse

1) I en klasse skal de trække lod om, hvem der skal være elevrådsrepræsentanter. Der skal vælges en repræsentant og en suppleant. De er 15 elever i klassen. En elev kan kun være enten repræsentant eller supleant (ikke begge dele!).

Hvor mange forskellige muligheder er der for udfaldet af lodtrækningen?

Jeg fik det til

$\small K(15,2) = \frac{15!}{(15-2)!\cdot 2!} = \frac{15!}{13!\cdot 2!} = 105$

2) En dreng skal vælge et par bukser. Der er 5 forskellige mærker og hvert mærke kan fås i 5 forskellige farver.

Hvor mange forskellige valgmuligheder har drengen i alt?

$\small K(5,5) = \frac{(5-1+5)!}{(5-1)!\cdot 5!} = 126$

3) I en klasse er der 9 elever. Læreren vil nu trække lod blandt eleverne, da der skal holdes oplæg i næste uge. Det ene oplæg er om Pythagoras og det andet om Fermat. Læreren vil have to forskellige elever til at holde oplæg.

Hvor mange forskellige muligheder er der for lodtrækningen til oplæggene?

$\small K(9,2) =\frac{9!}{(9-2)!\cdot 2!} = 36$

4) Der er givet cifrene 1 og 8. Med dem skal man lave et 4-cifret tal.

Hvor mange forskellige 4-cifrede tal kan man lave i alt med de 2 cifre?

Jeg ved ikke, hvordan denne opgave regnes.

Er opgaver regnet rigtigt, og kan nogen hjælpe med opgave 4 ?

Brugbart svar (1)

Svar #1
16. november 2014 af mathon

Nu har du løst en del opgaver uden tilbagelægning og var måske lidt "hjernelåst" heraf , da du skrev.
Prøv nr 4 igen og overvej, om der er tale om tilbagelægning eller ej.

Brugbart svar (1)

Svar #2
16. november 2014 af Soeffi

1) Du vælger to personer på K(15,2) måder. Dernæst foretages endnu et valg; nu mellem repræsentant og suppleant. Dette giver to muligheder for hver af de første eller i alt

K(15,2)·2=14·15=210

2) Antallet af buksekombinationer er 5²=25. Heraf skal vælges et par, dette kan gøres på

25 måder.

3) ...som 1) så vidt jeg kan se, bare med 9 elever.

4) Man har 4 felter og for hvert felt har man to valgmuligheder: 1 eller 8. I alt fås

2⁴=16

Hvis begge tal skal indgå, tæller 1111 og 8888 ikke med; i så fald bliver resultatet

2⁴-2=14

Svar #3
16. november 2014 af Matematikøkonomen (Slettet)

Ja, det må jeg have været.

Mange tak for dit svar soeffi.

Så må opgave opgave 3 give 72 , er det rigtigt?

Der står ikke noget om, at begge tal skal indgå så det må være 16

Svar #4
16. november 2014 af Matematikøkonomen (Slettet)

To cirkler skal farves i hver sin farve. Der er i alt 10 forskellige farver at farve figurerne med.

Hvor mange farvekombinationer er der i alt?

Jeg får det til

$\small K(10,2) = \frac{10!}{(10-2)!} = 90$

I en klasse er der 22 elever. Læreren vil nu trække lod blandt eleverne, da der skal holdes oplæg i næste uge. Det ene oplæg er om Pythagoras og det andet om Fermat. Læreren vil have to forskellige elever til at holde oplæg.

Hvor mange forskellige muligheder er der for lodtrækningen til oplæggene?

Det må være det samme som i 1) og 3) 22 · 21 = 462 muligheder

Er de rigtige

Brugbart svar (1)

Svar #5
16. november 2014 af mathon

Du kan bruge samme ræsonnement i 5) som i 6).

Men rigtigt.

Svar #6
16. november 2014 af Matematikøkonomen (Slettet)

Hej mathon og mange tak for dine svar.

Så vil det sige

$\small K(22,2) = \frac{22!}{(22-2)!} = \frac{22!}{20!} = 462$

Er 5) så også rigtig nu ?

Brugbart svar (1)

Svar #7
16. november 2014 af Soeffi

#3#4. 3) og 6) lyder rigtigt, selvom jeg ikke forstår, at der er flere spørgsmål om det samme.

5) det kommer an på...er det lige meget hvilken cirkel, der har hvilken farve? I så fald er svaret K(10,2). Hvis det gør en forskel, er svaret, det som du har skrevet. Når der står farve-kombination skal det nok være K(10,2).

I øvrigt blander du formler sammen.

$K(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!r!}$

...(uordnet prøvetagning uden tilbagelægning)

$\frac{n!}{(n-r)!}=P(n,r)$

...(ordnet prøvetagning uden tilbagelægning), mens

$\frac{(n-1+r)!}{(n-1)!r!}$

...(uordnet prøvetagning med tilbagelægning) ikke har nogen forkortelse.

Svar #8
16. november 2014 af Matematikøkonomen (Slettet)

Alle svar var rigtige undtagen en:

Her ser du en firkant og en trekant. De skal farves med forskellige farver.

Man kan bruge 9 forskellige farver til at farve de to figurer med.

Hvor mange farvekombinationer er der i alt?

Jeg fik det til 18 (kan ikke huske udregningen) , men svaret er 72 , hvordan finder jeg frem til det ?

Brugbart svar (1)

Svar #9
16. november 2014 af Soeffi

#7 Prøv at besvare

1) Firkantens farve kan vælges på 9 måder. Når den er valgt kan trekantens vælges på...
a) 8?
b) 9?

2) Er Rød firkant + grøn trekant
a) samme kombination som grøn firkant + rød trekant?
b) ikke samme kombination som grøn firkant + rød trekant?

Disse kan besvares på 4 måder: (1a, 2a), (1a, 2b), (1b, 2a) og (1b, 2b). Hver måde svarer til en af formlerne

$K(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!r!}\;...\;P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}\;...\;\frac{(n-1+r)!}{(n-1)!r!}\;...n^{r}$

som vi allerede har haft fat i ovenfor. Hvilken skal bruges her?

Svar #10
16. november 2014 af Matematikøkonomen (Slettet)

Det må være (1b,2b) ?

$\small K(9,2) = \frac{9!}{(9-2)!} = \frac{9!}{7!} = 72$

Brugbart svar (1)

Svar #11
16. november 2014 af Soeffi

#10 Hvis du opfatter opgaven som 1b, 2b bliver formlen

$\small 9^{2}=81$

Svar #12
16. november 2014 af Matematikøkonomen (Slettet)

Men er det ellers ikke rigtigt i #10

Ved forskellelige farver, så må den samme farve ikke benyttes igen, men er rækkefølgen vigtig eller ligegyldig?

Brugbart svar (0)

Svar #13
16. november 2014 af Soeffi

#12
Men er det ellers ikke rigtigt i #10

Ved forskellelige farver, så må den samme farve ikke benyttes igen, men er rækkefølgen vigtig eller ligegyldig?

Det kan diskuteres, men jeg tror på 1a, 2b, som giver P(9,2)=72.

Svar #14
16. november 2014 af Matematikøkonomen (Slettet)

#13

Hvilken formel bruger du

Brugbart svar (0)

Svar #15
16. november 2014 af Soeffi

#14
#13

Hvilken formel bruger du

Den samme som du bruger, men du kalder den K(9,2), som er 1a, 2a.

Svar #16
16. november 2014 af Matematikøkonomen (Slettet)

Nu kan jeg godt se, tak soeffi men er det ikke 2b

Brugbart svar (0)

Svar #17
16. november 2014 af Soeffi

#16
1) Firkantens farve kan vælges på 9 måder. Når den er valgt kan trekantens vælges på...
a) 8? (uden tilbagelægning)
b) 9? (med tilbagelægning)

2) Er Rød firkant + grøn trekant
a) samme kombination som grøn firkant + rød trekant? (uordnet)
b) ikke samme kombination som grøn firkant + rød trekant? (ordnet)

Formlen for (1a, 2a), (1a, 2b), (1b, 2a) og (1b, 2b) er i rækkefølge:

$K(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!r!}\;...\;P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}\;...\;\frac{(n-1+r)!}{(n-1)!r!}\;...n^{r}$

Svar #18
16. november 2014 af Matematikøkonomen (Slettet)

Men hvis det er Uordnet uden tilbagelægning, så får jeg

$\small K(9,2) = \frac{9!}{(9-2)!\cdot 2!} = 36$

men det skal give 72

Brugbart svar (0)

Svar #19
16. november 2014 af Soeffi

1a, 2 b er P(9,2)=72

Svar #20
16. november 2014 af Matematikøkonomen (Slettet)

#19

Okay, nu kan jeg se det.

Tusind tak for alle dine svar.

Skriv et svar til: Kombinatorik

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.