Matematik

Inhomogen differentialligning

19. november 2014 af Ninjaaa (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej alle.
Jeg har differentialligningen: z''(t)+5z'(t)+6z(t)=2e^6it. Jeg har så at den partikulære løsning er ke^6t+it. Ved differentiering får jeg nu: z'(t)=(6+i)ke^6t+it og z''(t)=(35+12i)ke^6t+it. Når jeg indsætter alt dette i differentialligningen ender jeg med 71ke^6t+it+17ike^6t+it=2e^6t+it.... Men mit casværktøj får noget helt andet.. Nogen der kan hjælpe mig med at finde ud af hvad jeg gør forkert.

Brugbart svar (0)

Svar #1
19. november 2014 af peter lind

Den partikulære løsning er k*e^6it

Svar #2
19. november 2014 af Ninjaaa (Slettet)

ke^(6+i)t=ke^6t+it.. :S forstår ikke helt..

Brugbart svar (0)

Svar #3
19. november 2014 af peter lind

Du har differentialligningen z''(t)+5z'(t)+6z(t)=2e^6it Du må forvente en løsning af samme form som højre side altså k*e^i*6t

Brugbart svar (0)

Svar #4
19. november 2014 af mathon

Den fuldstændige løsning til den homogene differentialligning
                                                           z''(t) + 5z'(t) + 6z(t) = 0
    hvis karakterligning
    er
                                                           r^2+5r+6=0
                    med
                                                           $r=\left\{\begin{matrix} -3\\ -2 \end{matrix}\right.$
har løsningen
                               $z_{hom}=c_1\cdot e^{-3t}+c_2\cdot e^{-2t}$

En partikulær løsning til z''(t) + 5z'(t) + 6z(t) = 2e^6t+itgættes på formen ke^6t+it.

Ved indsættelse i z''(t) + 5z'(t) + 6z(t) = 2e^6t+it
fås:

Svar #5
19. november 2014 af Ninjaaa (Slettet)

#3 jeg har gjort det på samme måde som mathon..
#4 Jeg har gjort det på samme måde som dig, men nu er jeg i tvilv da både mit casværktøj og peterlind siger at gættet er på formen Ce^6it

Svar #6
19. november 2014 af Ninjaaa (Slettet)

Peter lind, er den partikulære løsning altså på samme form som differentialligningens højre side? :)

Brugbart svar (0)

Svar #7
19. november 2014 af peter lind

Ja det er den normalt. Der kan komme undtagelser hvis højre side er en løsning til den homogene ligning; men det er den angivne højre side ikke. Hvorfor vil du absolut sætte det ekstra it på i eksponenten ?

Brugbart svar (0)

Svar #8
19. november 2014 af mathon

#4 fortsat

bemærk
$(k\cdot e^{6it})$
se
https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1543601

Brugbart svar (1)

Svar #9
19. november 2014 af mathon

bemærk
                      $(k\cdot e^{6it}){}'=6ik\cdot e ^{6it}$
   og
                      $(k\cdot e^{6it}){}''=-36k\cdot e ^{6it}$    og ikke noget med   $e ^{6t+it}$

Svar #10
19. november 2014 af Ninjaaa (Slettet)

#7 det er fordi der i min bog står at hvis r+iw ikke er rod i polynomiet er den partikulære løsning: ke^(r+iw)t, så derfor får jeg: ke^6t+it

Svar #11
19. november 2014 af Ninjaaa (Slettet)

Jeg har også en anden differentialligning: y''(t)+5y'(t)+6y(t)=2sin(6t). Jeg gætter på at den partikulære løsning er ke^6it... Men det giver ikke helt mening, da jeg så ville få det samme resultat som forrige opgave?

Brugbart svar (0)

Svar #12
19. november 2014 af peter lind

#10 og hvorfra får du så at w = 1 ?

#11 Det gør det blot nemmere. Du har løst ligningen med højre side 2*e^6it = 2*(cos(6t) + i*sin(6t) )

Du skal altså finde løsningen for den rent imaginære del af differentialligningen. Den kan du så aflæse fra det forrige spørgsmål

Svar #13
19. november 2014 af Ninjaaa (Slettet)

Det gik jeg ud fra.. For hvis w=0 ville der jo stå: ke^(r+0)t.
#12 undskyld men jeg forstår det slet ikke.Ved ikke hvornår det hvilken løsning eller metode jeg skal bruge, i de forskellige opgaver..
Jeg har jo allerede at den partikulære løsning er (-1/30-1/30*i)e^6^i^t og da jeg ved at det er en sinus funktion får jeg så: (-1/30-1/30*i)e^6^i^t <->(-1/30-1/30*i)*cos(6t)+isin(6t)= -1/30cos(6t)+1/30sin(6t)-1/30isin(6t)-1/30*i*cos(6t)
Jeg skal så forkuserer på den imaginære del og får så at den partikulære løsning er: -1/30*i*sin(6t)-1/30*i*cos(6t) ..?

Brugbart svar (0)

Svar #14
19. november 2014 af peter lind

Du kan ikke bare gå ud fra at w=1. Med w=0 får du jo det rigtige.

Du har en løsning til den reelle del L1 og en løsning til den imaginære del i*L2. Indsætter du L2 i vestreside af differentialligningen må du få de sin(6t)

Bortset fra at du skal fjerne i'et er det korrekt.

Svar #15
19. november 2014 af Ninjaaa (Slettet)

Mange tak!:)

Skriv et svar til: Inhomogen differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.