Differentialregning

.

         +          0        -        0         +
              _________-2_________3__________>
       ^{voksende        aftagende         voksende}

#0

Hvad kringlet er der ved

        f(x) = (1/3)x³ -(1/2)x² -6x +4    ?

Differentier hvert led for sig ved at benytte     (xⁿ)' = n·x^n-1 .

#1

Kan nulreglen så benyttes? Iøvrigt, hvordan får du det til (x + 2) · (x - 3) , da jeg får det til, x² - x - 5

#3

Bemærk, at 2·(-3) = -6 .

Ja, man kan benytte nulreglen, når man skal finde rødder i et faktoriseret polynomium.

#4

Det er da også rigtigt, mange tak Torben.

Vil det så sige, at 

     (x + 2) = 0 ∨ (x - 3) = 0

     x + 2 = 0  ∨ x - 3 = 0

     x = - 2   ∨   x = 3

Det var egentlig en meget nem måde, at løse en andengradsligning på.

Jeg har formen,  4x² - 3x + 2 = 0 , hvordan benyttes nulreglen så ?

#5

Ja, man kan direkte aflæse rødderne af faktoriseringen.

Med      4x² - 3x + 2 = 0     bemærker man, at diskriminanten er negativ. Rødderne er derfor komplekse.

#6

Komplekse? Vil det sige, at rødderne kan skrives på formen, z = a + ib ?

Hvad hvis jeg har ligningen, 2x² + 3x - 3 = 0 ; d > 0 , hvordan faktoriserer jeg den, så jeg kan benytte nulreglen.

#7

Ja, når diskriminanten er negativ, er der to komplekse rødder, der er hinandens komplekst konjugerede.

Måske mener du ligningen    2x² + 3x - 3 = 0 ?  Her er man bedre tjent med at beregne rødderne ved at benytte rodformlen, da d = 33 og rødderne ikke er pæne simple tal.

#8

Okay, mange tak for dine svar.

Jeg har, x² - 2x - 3 , d = (- 2)² - 4 · (- 3) = 4 + [- 4 · (- 3)] = 4 + 12 = 16

Jeg har så et kvadrattal, 16 , kan jeg nu benytte nulreglen og få rødderne hurtigt.

#10

Her kan man direkte se, at

        x² - 2x -3 = (x+1)·(x-3) .

For et normeret polynomium     x² + bx + c     der har rødderne  r₁ og r₂ , gælder der

        x² + bx + c = (x - r₁)·(x - r₂) = x² - (r₁+r₂)x + r₁·r₂ ,

dvs

        r₁ + r₂ = -b     og   r₁·r₂ = c .

#11

Tusind tak for alle dine brugbare svar.

Men hvordan kan du direkte se, at x² - 2x - 3 = (x + 1) · (x - 3) , jeg forstår ikke helt. Hvordan faktoriserer du den så hurtigt ?

Lige et sidespring. 

Er dette rigtigt? 

Jeg skal finde f´(x)=0 og har funktionen: f´(x)=(5/x)-1

-(x-5/x)=0

x=5

#12

Med polynomiet  x² - 2x - 3  skal man finde to tal, hvis sum er 2 , og hvis produkt er -3 , som forklaret i #11. Her ser man, at de to tal er -1 og 3 .

#13

Ja, det er korrekt.     5/x = 1  , gang ligningen med x på hver side.

#14

Nu læste jeg #11 mere grundigt og forstår det hele nu.

Er det så korrekt, at ax² + bx + c = a · (x - r₁) · (x - r₂) . Er det samme fremgangsmåde?

#16

Ja, det er korrekt.

#17

Tusind tak for alle dine meget brugbare svar.