Matematik

HJÆLP! srp differentialligning

15. december 2014 af hugo124 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej jeg skal finde den fuldstændige løsning til differentialligningen

dy/dx = - k * y

hvor k er er positivt helt tal

Jeg har prøvet mig frem og får

f(x) = c * e^( - k * x)

men er dette rigtigt? Jeg bruger metoden separation af de variable og deler de op i intervallerne y<0, y>0, y = 0. Jeg er og i tvivl om jeg har gjort det rigtigt ? For hvornår bruger jeg er k er et positivt tal?

Brugbart svar (0)

Svar #1
15. december 2014 af mathon

$\frac{1}{y}\, dy=-k\, dx$

$\int \frac{1}{y}\, dy=-k\int \, dx$

$\ln(\left | y \right |)=-kx+\ln(\left | y_0 \right |)$

$\left | y \right |=\left | y_0 \right |\cdot e^{-kx}$

$y=\pm \left | y_0 \right |\cdot e^{-kx}$

$y=C\cdot e^{-kx}$

kontrol:
med $y=C\cdot e^{-kx}$
$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=C\cdot e^{-kx}\cdot (-k)=-k\cdot \left ( C\cdot e^{-kx} \right )=-k\cdot y$

Svar #2
15. december 2014 af hugo124 (Slettet)

mange tak. Hvor anvender jeg antagelsen at k > 0 ?

Brugbart svar (0)

Svar #3
15. december 2014 af mathon

                   for en aftagende funktion                              for en voksende funktion
       $y=C\cdot e^{-kx}$                                               $y=C\cdot e^{-kx}$
                   er k > 0                                                          er k < 0

Svar #4
15. december 2014 af hugo124 (Slettet)

Så det eneste vi kan sige ud fra det er at funktionen er aftagende når k > 0 ?

Jeg undrer mig bare over hvorfor det er skrevet med i min problemformulering, for er det ikke lidt ligegyldt, når bare jeg skal udlede den fuldstændige løsning til y' = - k * y ?

Brugbart svar (1)

Svar #5
15. december 2014 af mathon

korrektion:

                  for en aftagende funktion                              for en voksende funktion
                  med C > 0                                                      med C > 0
       $y=C\cdot e^{-kx}$                                               $y=C\cdot e^{-kx}$
                   er k > 0                                                          er k < 0

                  for en voksende funktion                              for en aftagende funktion
                  med C < 0                                                      med C < 0
       $y=C\cdot e^{-kx}$                                               $y=C\cdot e^{-kx}$
                   er k > 0                                                          er k < 0

Svar #6
15. december 2014 af hugo124 (Slettet)

Svar #7
15. december 2014 af hugo124 (Slettet)

tusin tak for hjælp

Svar #8
15. december 2014 af hugo124 (Slettet)

vi er enige om at dette gælder for x tilhører i alle reelle tal ikke?

Skriv et svar til: HJÆLP! srp differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.