Komplekse tal

1 ± 2i er nu engang et komplekst tal . Hvis x er reel, har man så

        x^{1 ± 2i} = e^{(1 ± 2i)·ln(x)} = x · e^±2i·ln(x) = x · (cos(2·ln(x)) ± i·sin(2·ln(x)))

#1

Ok, det skulle have været -1 ± 2i, men jeg kan godt se fremgangsmåden.

Vi får således: y(x) = x^-1 · (cos(2·ln(x)) ± i·sin(2·ln(x))), hvor den reelle løsning er  y₁(x) = x^-1 · cos(2·ln(x))

Jeg forstår bare ikke, hvorfor man også tager: y₂(x) = x^-1 · sin(2·ln(x)). Den del er jo ikke reel?

Du har ikke angivet differentialligningen; men ud fra det angivne gætter jeg på at det er en homogen 2. ordens differentialligning med konstante koefficientet. I sådan et tilfælde får du den totale løsning som y=c₁f(x)+c₂*g(x), hvor c₁ og c₂ er konstanter. Du skal være klar over at disse konstanter godt kan være komplekse, så du ved passende valg af konstanterne kan få reelle løsninger. Hvis du for eks. har fået de to løsninger cos(x)+isi(x) og cos(x)-isin(x) vil du ved valg af konstanter kunne få at cos(x) er en løsning og sin(x) er en løsning  Det sidste ved at bruge i*(cos(x)+isin(x) -i(cos(x) -isin(x)) = -2sin(x)

#3

Der er tale om en Euler-Cauchy differentialligning:

x²y'' + 3xy' + 5y = 0

Det væsentlige er at det er en lineær homogen differentialligning. Så gælder de regler, jeg skrev i #3

#5

Vi kom frem til løsningerne:

y₁(x) = x^-1(cos(2ln(x)) + isin(2ln(x))

y₂(x) = x^-1(sin(2ln(x) - isin(2ln(x)))

Forstår stadigvæk ikke, hvordan vi kan reducere disse til:

y₁(x) = x^-1cos(2ln(x))

y₂(x) = x^-1sin(2ln(x))

Prøv at lægge dem sammen og dividere med 2.

PS: jeg tror, du har skrevet forkert i y₂

#7

Ja, der skulle naturligvis stå:

y₂(x) = x^-1(cos(2ln(x) - isin(2ln(x)))

som reduceres til:

y₂(x) = x^-1sin(2ln(x))

Hvis jeg lægger dem sammen og dividerer med 2, så får jeg:

(y₁(x) + y₂(x))/2 = x^-1(2cos(2ln(x)))/2 = x^-1cos(2ln(x))

Så findes den anden løsning vel ved at trække dem fra  hinanden og dividere med 2i?

Ja

#9

Super, tak!