Forklaring på massemidtpunkt

Se på arealerne på højre og venstre side af y aksen. Jo større areal på højre side jo større værdi af x koordinaten og jo mindre areal på venstre side jo større værdi af x koordinaten

Kan du give en uddybning? :)

Hvad er du i tvivl om ?

Svaret til opgaven er 1, 3, 2 og skal sorteres efter mindst x-koordinat først. Ud fra din betragtning, så er arealet større for 1 end 2. Derfor stemmer det ikke overens i mit hoved?

Hvor har du det resultat fra ?

Massemidtpunktet for en dimension er 

En hel plades defineres med massen m₁ og x-koordinatet 0, den forsvinder altså, betragt blot hjørnerne, da den er symmetrisk, kan x-koordinaterne blot kaldes hhv. -1 eller 1, det giver

Den absolutte værdi af x₁ vs. x₃ kan let konkluderes at x₁ er mindst, da der deles med et større tal. x₂ er igen større end x₃ da der står 2 i tælleren, nævneren bliver aldrig halv størrelse i x₃ ift. x₂ for at kunne konkurrere mod det, da 3*x aldrig bliver dobbelt så stort som 2*x.

http://myfizika.ucoz.com/_ld/0/43_Test_Bank_9.pdf s. 121 samt min lærer (testen på internettet er dog tilfældigt fundet)

#6: Arh - mange tak :)

#6 Krævene må være at m1 < 4*m2, da fysikken ellers bryder sammen, og det er netop der hvor tælleren i x₃ bliver 4 m₂ - 3 m₂ = m₂ som er halv størrelse af 4 m₂ - 2 m₂ = 2 m₂

Uddybning til udtrykkene:

Det er selvlfølgelig ikke den helt rigtige måde at gøre det på, men resultatet er nogenlunde ens, i stedet burde man definere hver halvdel af pladen, jeg har ikke skrevet det ind i LaTeX, men blot fra maple:

simplify((-(1/2)*m[1]+m[2]+(1/2)*m[1])/(m[1]-m[2]));
                             m[2]    
                   x1 =   -----------
                          m[1] - m[2]

simplify((-(1/2)*m[1]+2*m[2]+(1/2)*m[1])/(m[1]-2*m[2]));
                            2 m[2]    
                 x2 =    -------------
                         m[1] - 2 m[2]

simplify((-(1/2)*m[1]+2*m[2]+((1/2)*m[1]-m[2]))/(m[1]-3*m[2]));
                             m[2]     
             x3 =       -------------
                         m[1] - 3 m[2]

X' rne skal være tyngdepunktet for de enkelte masser. x koordinaten for venstre masse er aldeles uafhængig af tyngdepunktet for den højre masse.. Lad os antage for simelthedens skyld den venstre masse er en rektangel. Tyngdepunktet vil da klart ligge i midtpunktet af rektanglen. Skære du nu den vensttre halvdel af tyngdepunktet ffra, vil tyngdepunktet stadig være i centrum af rektanglen så det er flyttet til højre. Samtidig vil massen være blevet mindre. Den numeriske værdi af  er faldet til |m₁*x_1|. tyngdepunktet me de nye masser er nu X = (-|m₁*x₁|+m₂*x₂|(m1+m2) >0   tyngdepunktet er altså flyttet mod højre.|

#10 

Snakker du om opgaven nu?

Jeg har også lavet modellen i hhv. #6 og #9 efter dine anvisninger i #1. Den afhænger ikke af x-værdier, da jeg har antaget figurerne er symmetrisk omkring y-aksen (hvilket det ligner meget og ellers gør opgaven umulig at løse) hvorfor x-værdierne blot bliver skaleringsfaktorer.

Det store kvadrat kan betragtes som sammensat af 9 mindre kvadrater hver med massen m, med 3 kvadrater siddende på x-koordinaten x = -Δx , med 3 kvadrater siddende på x-koordinaten x = 0 , og med 3 kvadrater siddende på x-koordinaten x = +Δx . Man har så for de tre figurer:

        x_CM1 = 2·(-Δx) + 3·0 + 3·Δx = 1·Δx

        x_CM2 = 1·(-Δx) + 3·0 + 3·Δx = 2·Δx

        x_CM3 = 1·(-Δx) + 3·0 + 2·Δx = 1·Δx

I både 1 og 3 er der ét hj8rne mere på den højre (positive) side end på den venstre (negative) side.

#12 : 

Smart metode. 

Benyt definitionen i #6, hvis man ønsker at bruge metoden til at kende forskel på tilfælde 1 og 3 også. I #9 laves et udtryk hvor den deles op i 4 kvadrater i stedet. 

#13

Pointen er, at

        0 < x_CM1 = x_CM3 < x_CM2 .

Figur 3 fremkommer af figur 1 ved at fjerne 1 hjørne på den positive side og 1 hjørne på den negative side. Bidragene fra de to hjørner har samme absolutværdi, men modsat fortegn.

#14 

Jeg er uenig. 

Er min defintion i #6 forkert eller vil værdien af CM1 ikke være mindre end værdien CM3 pg.a. den større masse? Se 1/M faktoren foran sum-tegnet.

Her er en mere præcis, generel og matematisk beskrivelse af mit indlæg i #1

Der bruges  den første formel for massemidtpunkt i #6. Denne formel er korrekt

Vælg et kordinatsystem så tyngdepunktet er i begyndelsespunktet. Man kan så dele summen op i den negative del og den positive del. Massen i tyngdepunktet kommer ikke til at spille en rolle. Du kan så dele summen op i to dele, den ene udelukkende med negative led og den anden udelukkende med positive led.

Den med negative led er ∑ m_ix_i  den med positive led er ∑ m_jx_j

Man har så 0 = ∑ m_ix_i+ ∑ m_jx_j

Hvis man fjerner noget fra højre side bliver summen mindre, så den bliver negativ.

Hvis man tilføjer noget på højre side bliver summen større, så den bliver positiv

Fortegnet for summen af masserne ændrer sig ikke, så det samme gælder for tyngdepunktets x koordinat

Der gælder altså at hvis man fjerne noget fra højre side af tyngdepunktet rykker tyngdepunktet mod venstre

Der gælder altså at hvis man tilføjer noget på højre side af tyngdepunktet rykker tyngdepunktet mod højre.

Hvis man tilføjer eller fjerner noget på venstre side sker det omvendte.

I den pågældende opgave er tyngdepunktet godt nok ikke umiddelbart kendt, men der er ingen tvivl om hvorvidt de ligger til venstre eller højre side af tyngdepunktet

Det er egentlig også det man intuitivt vil forvente,

#12

Den forstår jeg ikke. Hvad er Δx ?. Der er ingen, der har tyngdepunkt i x=0. og der kan ikke samles 3 grupper med 3 kvadrater som hver har samme koordinater.

Her er en tilsvarende beregning:

Ud fra et skøn af tegningerne går jeg ud fra at de viste sider i alle afskæringer og delt over på x aksen har samme længde. Så er den oprindelige kvadrat summen af 16 lige store kvadrater.  De 8 midterste kvadrater fordeler sig symmetisk omkring y aksen så de giver tilsammen  summen er 0. Afstanden fra y aksen til centrum for de yderste kvadrater til y aksen kalder jeg x. I den første figur mangler der en kvadrat med tyngdepunkt i -x. Summen i tælleren bliver derfor m*x. Der er ialt 15 kvadrater så x koordinaten bliver m*x/(15m) = x/15

I den næste figur mangler der to kvadrater i koordinaten -x så summen bliver 2m*x. summen af masserne er 14 så x koordinaten bliver 2m*x/(14x) = x/7

I den 3. figur mangler der 2 kvadrater med koordinaten -x og en med koordinaten x Det giver  summen m*x. Antal af kvadrater er 13 så x koordinaten for tyngdepunktet bliver x koordinaten for tyngdepunktet bliver x/13

rækkefølgen bliver så 3, 1, 2 hvis man tager efter faldende værdi omvendt hvis man tager efter stigende værdi

Jeg har kludret lidt i det i den sidste sætning. Jeg har byttet om på faldende og stigende

Der er ikke i figuren noget, der indikerer, hvor store hjørnestykkerne er i forhold til det oprindelige kvadrat. Derimod ser det stærkt ud til, at kvadratet kan opdeles i et midterkvadrat med masse m₁, fire siderektangler hver med massen m₂ og fire hjørnekvadrater hver med massen m₃. Akserne lægges langs symmetrilinierne i det oprindelige kvadrat. Afstanden mellem y-aksen og midtpunktet af øverste højre hjørnekvadrat kaldes a.

For at finde massemidtpunktets placering opskrives momentet om y-aksen. Der er 8, 7 og 6 led for de tre figurer:

M₁ = 0 m₂ + a m₃ - a m₂ + 0 m₁ + a m₂ - a m₃ + 0 m₂ + a m₃ = a m₃

M₂ = 0 m₂ + a m₃ - a m₂ + 0 m₁ + a m₂  + 0 m₂ + a m₃ = 2 a m₃

M₃ = 0 m₂  - a m₂ + 0 m₁ + a m₂  + 0 m₂ + a m₃ = a m₃

For hvert af de tre tilfælde kan man finde det samme moment ved at betragte hele massen som liggende i massemidtpunktet. Heraf får vi:

M₁ = x₁(m₁ + 4 m₂ + 3 m₃)

M₂ = x₂(m₁ + 4 m₂ + 2 m₃)

M₃ = x₃(m₁ + 4 m₂ + 1 m₃)

og

x₁ = a m₃ /(m₁ + 4 m₂ + 3 m₃)

x₂ = 2 a m₃ /(m₁ + 4 m₂ + 2 m₃)

x₃ = a m₃ /(m₁ + 4 m₂ + 1 m₃)

Det ses, at x₂ er den største, og at x₁ er mindre end x₃ : x₃<x₁<x₂

Her er en metode, der kun forudsætter at de 3 fjernede hjørner er identiske.

Fra 1 til to . Der fjernes noget fra den venstre side hvilket for tælleren i tyngdepunkts formlen til at blive større. Samtidig falder nævneren; men  med en faktor mindre end 2 så 2 har en x koordinat som er større end 1.

Tilsvarende sammenligning med 2 og 3 viser at 3's x kordinat for tyngdepunktet er mindre koordinaten for 2 2 har altså den største x koordinat

Sammenligning mellem 1 og 3 giver at tællerne er lige store. men da nævneren i 3 er mindre en nævneren i 2 bliver koordinaten for 3 større end koordinaten for 1