Skitsering af definitionsmænge

Der skal gælde to betingelser:

2 + x - y > 0

og

4 - x² - y² ≥ 0

Den første:

2 + x - y > 0  <=>

y < x +2

Tegn linien y = x + 2 (tegn den som en stiplet linie, da der står "<" og ikke"≤") og skravér området under linien.

Den anden:

4 - x² - y² ≥ 0  <=>

x² + y² ≤ 4

Tegn en cirkel med centrum i origo og radius 2 (tegn den som fuldt optrukket, da der står "≤") og skravér det indvendige.

Din definitionsmængde er nu det dobbeltskravered område.

Du har fra udtrykket
                                    ln(2+x-y)
                                                      

dvs
         y-værdierne skal ligge under linjen
                                                        

endvidere har du af

                                    sqrt(4-x²-y²)
                                                        
                                                       
                                                       
dvs
         punkterne (x,y) skal ligge inden i eller på cirkelperiferien af cirklen  med centrum i (0,0) og radius 2.

Opfyldelse af begge punktkrav
dvs Dm(f)
                    
mængden af punkter inden i cirklen med centrum i (0,0) og radius 2 eller på cirkelperiferien men med y-værdier under den rette linje y = x+ 2.

.

Nu vi er i gang, kan i så også forklare, om definitionsmængden er åben eller lukket? Jeg bliver altid forvirret, da jeg ikke synes at have fået en konkret foklaring på forskellen..

#7

Nu vi er i gang, kan i så også forklare, om definitionsmængden er åben eller lukket? Jeg bliver altid forvirret, da jeg ikke synes at have fået en konkret foklaring på forskellen..

Se evt. http://01005.mat.dtu.dk/materialer/enoter/afsnit/NUID28-tn15/

#8

Jeg har læst det, og det var lidt det jeg mente, da jeg sagde at jeg mangler noget mere konkret. I mine, uvidende, øjne kan man 'sætte små cirkelskiver' lige hvor man vil - men det er tydeligvis ikke rigtigt...

Kan du evt. forklare?

#9

#8

Jeg har læst det, og det var lidt det jeg mente, da jeg sagde at jeg mangler noget mere konkret. I mine, uvidende, øjne kan man 'sætte små cirkelskiver' lige hvor man vil - men det er tydeligvis ikke rigtigt...

Kan du evt. forklare?

Prøv at se på tegningerne nedenunder definitionerne.

#10

Det er rigtig sødt af dig at svare, men som sagt så forstår jeg ikke det, der står i enoten, og leder efter en forklaring. Gerne relevant til det originale spørgsmål :)

Der er tre muligheder: åben, afsluttet eller ingen af delene. Det tilfælde, som vi har med at gøre i denne opgave, ser ud til at svare til A: ingen af delene.

Spørgsmålet er om randen er med i punktmængden. Cirklens periferi hører med, men linjen y=x+2 gør ikke. 

#12

Ej, okay. Jeg kan jo godt læse. Men jeg kan ikke se hvad alle de små cirkler har med min opgave at gøre, eller hvordan man kan se, om de er der eller ej. Altså, om def.mængden er åben eller lukket. Hvis du bare vil refere til den enote, så lad bare være - jeg har læst den men jeg forstår den ikke.

Tak.

#12

UNDSKYLD! Det var kun billedet der blev vist i første omgang, og ikke den tekst du skrev. Jeg kan desværre ikke finde ud af slette min kommentar, men mange tak for hjælpen.

Definitionen i linket ovenfor:

Definition 15.2: Åbne mængder i planen

En delmængde eller et område M i planen kaldes en åben mængde hvis ethvert punkt (x₀, y₀) i mængden er centrum for en eller anden (gerne meget lille) cirkelskive, som selv er helt indeholdt i M.

Hvis vi nu betragter skitsen i opgaven og vælger et punkt, som ligger på cirklen, så tilhører dette punkt definitionsmængden (cirklen er jo fuldt optrukket, da der stod "≤"). Men hvis vi nu tegner en lille cirkel med centrum i dette punkt, så vil noget af den ligge udenfor definitionsmængden, ligegyldigt hvor lille vi tegner denne cirkel. Definitionen på en åben mængde er således ikke opfyldt, da det skal gælde for "ethvert punkt i mængden".

Men er den så lukket?

Definitionen på at en mængde er lukket (også kaldt afluttet) er, at dens komplementærmængde er åben. Komplementærmængden til vores definitionsmængde er alt det, der ligger uden for det skraverede område, hvor den del der ligger på cirkeldelen nu er stiplet, og den del der ligger på den rette linie nu er fuldt optrukket. Hvis vi igen lægger en lille cirkel på det rette liniestykke, vil den nu "rage udenfor" komplementærmængden, og komplementærmængden er derfor heller ikke åben.

Konklusionen er, at definitionsmængden hverken er åben eller lukket.