Diffusionsligningen

Beregn de to partielle afledede  ∂P/∂t  og  ∂²P/∂x²  ud fra funktionsudtrykket for P(x,t) , og vis, at de to sider i differentialligningen (1.11) er lig med hinanden.

ja har prøvet, men kan bare ikke få det til at hænge sammen :/

#3

Vis dine mellemregninger og resultater. Når man beregner ∂P/∂t betragtes x som en konstant. Når man beregner ∂²P/∂x² betragtes t som en konstant.

Kan ikke rigtig komme videre ?

#5

Der er ikke tale om at løse ligningen, men om at vise, at en bestemt funktion er en løsning til differentialligningen. I det vedlagte skelner du ikke notationsmæssigt mellem om der differentieres med hensyn til x eller til t, så det er umuligt at følge, hvad du laver.

Funktionen er, som angivet i #0,

        P(x,t) = (1/√(4πD))·t^-1/2·exp(-(1/(4D))·x²·t^-1)

Man finder så

        ∂P/∂t = -(1/2)·(1/√(4πD))·t^-3/2·exp(-(1/(4D))·x²·t^-1) + (1/√(4πD))·t^-1/2·exp(-(1/(4D))·x²·t^-1)·(1/(4D))·x²·t^-2

                 = (1/√(4πD))·t^-3/2·exp(-(1/(4D))·x²·t^-1) · (-(1/2) + (1/(4D))·x²·t^-1)

                 = t^-1·P(x,t) · (-(1/2) + (1/(4D))·x²·t^-1)

og

        ∂P/∂x = (1/√(4πD))·t^-1/2·exp(-(1/(4D))·x²·t^-1)·(-(1/(4D)·2x·t^-1)

                  = -(1/(2D))·x·(1/√(4πD))·t^-3/2·exp(-(1/(4D))·x²·t^-1)

                  = -(1/(2D))·x·t^-1·P(x,t)

og dermed

        ∂²P/∂x² = -(1/(2D))·t^-1·P(x,t) + (1/(4D²))·x²·t^-2·P(x,t)

                     = (1/D)·t^-1·(-(1/2) + (1/(4D))·x²·t^-1) · P(x,t)

                     = (1/D)·∂P/∂t

Kunne du eventuelt fortælle mig hvilke regneregler du benytter dig af? :)

til hver trin :D

der hvor der står P(x,t). det er bare funktion ikk? istedet for at skrive den ind hvergang, så har du bare skrevet P(x,t) ?

#9

P(x,t) er jo den givne funktion

        P(x,t) = (1/√(4πD))·t^-1/2·exp(-(1/(4D))·x²·t^-1)

Jeg formoder, at du har lært om differentiation af funktioner af flere variable. Man differentierer partielt med hensyn til t ved at betragte x som en konstant. Man differentierer partielt med hensyn til x ved at betragte t som en konsatnt.