Skæringspunkt mellem cirkel og linje

Cirklen har ligningen: (x-1)²+(y-0)² = 8.

Linjen har ligningen: y = x - 1

Da værdierne for x og y skal være fælles kan man indsætte y=x-1 i cirklens ligning:

(x-1)²+(x-1)²=8 ⇒ 2(x-1)²=8 ⇒ (x-1)²= 4 ⇒ x - 1 = ± 2 ⇒ x = ± 2 + 1 ⇒ x = -1 ∨ x = 3.

For y fås x =-1 ⇒y=-2 og for x=3 fås y=2.

Dvs. skæringspunkterne er (x,y) = (-1,-2) og (x,y) = (3,2). Gør prøve ved at undersøge om punkterne både ligger på cirklen og linjen. 

x - 1 = ± 2 ⇒ x = ± 2 + 1 ⇒ x = -1 ∨ x = 3.

For y fås x =-1 ⇒y=-2 og for x=3 fås y=2.

Jeg forstår ikke hvad det er du har gjort der. Kunne du måske forklare mere, hvad det er du har gjort :) 

Når du tager kvadratroden på begge sider og der står et udtryk opløftet i anden på venstre side, får du udtrykket uden i-anden tegnet på venstre side, og på højre får du plus/minus kvadratoden af det som stod der før. 

men hvorfor plus/minus? bliver det ikke plus?

Nej, lad os sige at x² = 4, så er x jo = ±2. Gør selv prøve!

Bemærk, at cirklens centrum C(1,0) ligger på linien med ligningen y = x - 1 . En retningsvektor for linien er vektoren

         s = [1 ; 1] ,

der har længden

        |s| = √(1² + 1²) = √2 .

Man finder skæringspunkterne mellem cirklen og linien ved at gå længden r fra centrum i retningsvektorens positive eller negative retning, hvor r = √8 er cirklens radius. En stedvektor til skæringspunkterne mellem cirklen og linien findes da som

        OP = OC ± r·s/|s|

              = [1 ; 0] ± (√8)·[1 ; 1]/√2

              = [1 ; 0] ± 2·[1 ; 1]

              = [1 ; 0] ± [2 ; 2]

              = [3 ; 2]  eller   [-1 ; -2]

Men jeg har ikke haft om de der vektore.... Jeg har virkelig brug for hjælp til denne her. 

Det giver ingen mening til mig.... :/

Tegningen viser cirklen og linjen.

#9

Ovenfor har du fået to forskellige fremgangsmåder forklaret til løsning af opgaven. Den ene metode i #1 løser et system af to ligninger, der beskriver, at skæringspunkterne ligge både på cirklen og på linien. Den anden metode i #6 er en mere geomtrisk fremgangsmåde, der gør brug af vektorregning, som burde være pensum i Mat A. Tegningen i #8 kan bruges som skitse ved begge fremgangsmåder.

EEEEEEJ.... Det må i vildt undskylde for de dumme spørgsmål :[] det var bare mig der har lavet nogle regnefejl. Tusind tak skal i have for at holde mig ud. det var virkelig sødt af jer ^_^ 

CAS grafløsning.