Binomialkoeffiecient

??

#2

Han indsætter blot billedet, så lektiehjælperne har nemmere ved at hjælpe dig.

n elementer skal sætte i en rækkefølge. Dette kan så gøres ved:

n! = n·(n-1)·(n-2)···2·1
(Du har 10 kugler der skal placeres i en rækkefølge. På den første plads har du 10, den anden plads har de 9 og på den tredje plads har de 8 ,..., og på den 9 plads har du 2, og på den tiende plads har du en kugle tilbage)

Vi antager at der er r elementer at vælge imellem, hvor vi stadig har n elementer til rådighed. Dette vil se sådan her ud:

på den første plads kan vi vælge r elementer, den næste plads kan vi vælge r - 1 elementer den næste plads kan vi vælge r - 2 elementer ,..., den anden sidste plads kan vi vælge på n-r+2, den sidste plads kan vælges på n-r+1 måder. I alt kan elementerne ordnes på:
r·(r - 1)·(r - 2)···(n-r+2)·(n-r+1)

Hvis vi skal tage r elementer ud af n elementer, så kan dette gøres på K(n,r) måder

Hvis r elementer skal ordnes kan dette gøres på r! forskellige måder. Vi har nu:
K(n,r)·r! = r·(r - 1)·(r - 2)···(n - r + 1)
K(n,r) = [r·(r - 1)·(r - 2)···(n - r + 1)]  / r!                                  Divider med r!
K(n,r) = [r·(r - 1)·(r - 2)···(n - r + 1)·(n - r)!]  / ( r!·(n - r)! )       Gange med (n-r)!
K(n,r) = n! / [r!·(n - r)!]

Man kan udtage en delmængde bestående af r elementer i rækkefølge af en mængde bestående af n elementer på

måder. Da r elementer kan ordnes på r! måder tælles hver delmængde med r! gange, så

     ,

da binomialkoefficienten ovenfor betegner, på hvor mange måder man kan udtage r elementer af en mængde bestående af n elementer uden hensyntagen til rækkefølgen af de elementer, man udtager. 

ad 5:

,

men

. Af det første element, man udtager, har man n elementer at vælge imellem, ikke r. Man skal jo udtage elementer af mængden bestående af n elementer, ikke af en eller anden mængde bestående af r elementer.