kvadratisk interpolation

Bestem det 2.-gradspolynomium p(x) = ax² + bx + c , hvis graf går gennem de tre punkter.

De tre punkter giver tre ligninger til bestemmelse af a, b og c.

Når a, b og c er bestemt, kan man så beregne p(2,5) og p(1,5) .

I opgaven er der tale om, at der er konstant afstand h mellem x-koordinaterne for de tre punkter. Vi har derfor de tre punkters koordinatsæt på formen

        (x₀-h , y₁)
        (x₀ , y₂)
        (x₀+h , y₃)

og hvis vi midlertidigt indfører en ny x-variabel, x' = x - x₀ , skal vi altså bestemme polynomiet

        p(x') = ax'² + bx' + c

gennem de tre punkter

        (-h , y₁)
        (0 , y₂)
        (h , y₃)

der giver anledning til de tre ligninger

        ah² - bh + c = y₁
                         c = y₂
        ah² + bh + c = y₃

der let ses at have løsningen

        c = y₂
        b = (y₃-y₁)/(2h)
        a = (y₃+y₁-2y₂)/(2h²)

Det færdige polynomium gennem de tre punkter kan da skrives på formen

I den konkrete opgave er x₀ = 2 , h = 1 , y₁ = 2 , y₂ = 0 , y₃ = 6 , hvorfor

        p(x) = ((2+6)/2)·(x-2)² + ((6-2)/2)·(x-2) + 0

                = 4·(x-2)² + 2·(x-2)

                = 4x² - 14x + 12

                = 4·(x² - (7/2)x + 3)

                = 4·(x - 3/2)·(x - 2)

hvoraf man ser, at

        p(3/2) = 0   og    p(5/2) = 4·1·(1/2) = 2