Bevis for (x^2)'=2x

Hvor går du i stå?

      alment
                     

     specifikt
                     

Lad en funktion f: x   →  x² være givet med definitionsmænden R og værdimængden R₊

Tilvæksten Δf med udgangspunkt i x₀ kan skrives;

     Δf(h) = (x₀ + h)² - x₀² = x₀² + h² + 2hx₀ - x₀² = 2x₀h + h² 

da  h² er lig med en epsilonfunktion E(h) = h² omskrives dette til 

     Δf(h) = 2x₀h + E(h) 

dette viser, at funktionen x² er kontinuert og differentiabel i punktet x₀ med differentialkvotienten 

    ^Δf(h)/_h = 2x₀  + E(h) → 2x₀    for   h → 0

Du kan sågar bevise at grænseværdien eksisterer og den er lig med 2x₀ med et formelt epsilon-delta-bevis. 

Bevis da at 

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 :      0 <    l h - 0 l   < δ    ⇒    l (2x₀h  + E(h))/h   - 2x₀  l < ε

#0. Beviset er

eller noteret:
      når 

eller noteret:

       for f(x) = x², hvor f er en differentiabel funktion, er f '(x) = 2x ∀x∈Dm(f)

bevist

      a_s = (f(x+Δx) - f(x)) / Δx = ((x+Δx)² - Δx) / Δx = ((2x + Δx)Δx) / Δx = 2x + Δx   _{^(as ^{er sekantens hældning)}}

      dvs. a_s  → 2x for Δx → 0
                                                                                                                                                    Q.E.D.

#4 : Hvis du vælger   δ = ε > 0  vil det altid gælde, nemlig da

    l (2x₀h  + E(h))/h   - 2x₀  l    =     l (2x₀h  + h²)/h   - 2x₀  l     =     l 2x₀  + h   - 2x₀  l     =    l h l    < ε

Bevis:

For et givet  ε  lad  δ = ε 

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 :    0 <    l h - 0 l   < δ    ⇒     0 <  l 2x₀ + h - 2x₀ l   < δ     ⇒    0 <   l (2x₀h + h²)/h - 2x₀ l   < δ 

                                                                                                                                                                  Q.E.D.

Se eventuelt video nr. 16 på denne [ VIDEO-LISTE ] fra FriViden.dk

( Det ser ud til at nogen har svært ved at se, hvilken målgruppe man skriver til )