Matematik

Absolut konvergent eller betinget konvergent

28. oktober 2015 af hammer26 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Om rækken $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ vides at den N'te afsnitssum er givet ved $S_{N} = \frac{1}{N}cos(N\pi )$

Jeg skal afgøre om rækken er absolut eller betinget konvergent eller divergent

Jeg ved at cos(Nπ) = (-1)ⁿ og jeg kan opskrive a_n = S_n - S_n-1

$a_{n}= \frac{(-1)^{n}}{n} - \frac{(-1)^{n-1}}{n-1} = \frac{(-1)^{n}(-1)}{n(n-1)}$

som ikke gælder for n=1.

$b_{n} = \frac{-1}{n(n-1)}$ , som ikke har positive b_n og derfor er divergent

$\left | b_{n} \right | = \frac{1}{n(n-1)} \leq \frac{1}{(n-1)^{2}}\leq \frac{1}{n^{2}}$ som er konvergent da den går mod nul for n gående mod uendelig.

Derfor er rækken betinget konvergent. Er det rigtigt udført ?

Brugbart svar (0)

Svar #1
28. oktober 2015 af peter lind

Du har regnet a_n forkert ud.

Det b_n du omtaler er konvergent

Svar #2
28. oktober 2015 af hammer26 (Slettet)

$a_{n} = \frac{(-1)^{n}(2n-1)}{n(n-1)}$ er måske mere korrekt!

så bliver mit $b_{n}= \frac{2n-1}{n(n-1)}$ kan du hjælpe mig herfra ?

Brugbart svar (0)

Svar #3
28. oktober 2015 af Eksperimentalfysikeren

Nej, du har flere regnefejl.

$a_{n}=\frac{\left ( -1 \right )^{n}}{n}-\frac{\left ( -1 \right )n-1}{n-1}\\ =\frac{(-1)^{n}\left ( n-1 \right )-(-1)^{n-1}n}{n(n-1)}\\ =\frac{(-1)^{n}(n-1)+(-1)^{n}n}{n(n-1)}\\ =\frac{(-1)^{n}(n-1+n)}{n(n-1)}\\ =\frac{(-1)^{n}(2n+1)}{n(n-1)}$

Du har også fejl i uligheden 1/(n-1)² ≥ 1/n²

Svar #4
28. oktober 2015 af hammer26 (Slettet)

Jeg må sige at jeg har brugt Maple til at udregne a_n i #2

Brugbart svar (0)

Svar #5
29. oktober 2015 af Eksperimentalfysikeren

Jeg kan se, at jeg har et + i stedet for et -. Det er en skrivefejl. #3 blev skrevet mens #1 og #2 blev oprettede.

Jeg kan ikke huske præcist, hvordan man gør, men kan dog bemærke, at b_n ≈ 2/n, som giver en divergent række. (-1)ⁿ/n giver den alternerende række, der er betinget konvergent.

Svar #6
29. oktober 2015 af hammer26 (Slettet)

#1
Du har regnet a_n forkert ud.

Det b_n du omtaler er konvergent

Kan du hjælpe mig videre fra #2 ?

Brugbart svar (0)

Svar #7
29. oktober 2015 af Eksperimentalfysikeren

Det er længe siden, jeg har prøvet det, men jeg tror man skal lave en ny række, hvor hvert led er af formen

c_n = a_2n-1+a_2n.

Så vidt jeg husker er denne række konvergent.

Hvis du viser, at b-rækken er divergent og c-rækken er konvergent, skulle du være igennem det.

Svar #8
29. oktober 2015 af hammer26 (Slettet)

Hvis $a_{n} = \frac{(-1)^{n}(2n-1)}{n(n-1)}, b_{n} = \frac{2n-1}{n(n-1)}$ da det er en alternerende række.Men iflg Leibnitz' kriteriet er b_n så divergent da den dumper på første betingelse om at b_n altid er postiv for alle n tilhørende de naturlige tal. Den er jo ikke defineret for n=1 ????

Så skal jeg se på $\sum_{n=1}^{\infty } \frac{(2n-1)}{n(n-1)} = \sum_{n=1}^{\infty } \frac{2-\frac{1}{n}}{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty } \frac{2-\frac{1}{n}}{n} \approx \sum_{n=0}^{\infty } \frac{2}{n} =2* \sum_{n=0}^{\infty } \frac{1}{n}$

og 1/n er også divergent. Derfor må det hele være divergent.

Kan det være rigtigt det her?

Brugbart svar (0)

Svar #9
29. oktober 2015 af peter lind

Den holder ikke helt

bn = (2n-1)/( n(n-1)) = (n+n-1)/(n(n-1)) = n/((n*(n-1))+(n-1)/(n*(n-1)) = 1/(n-1)+1/n.

Summen af bn kan altså betragtes som summen af to summer, som begge går mod uendelig så summen af bn er divergent

an er derimod den tilsvarende alternerende række og der gælder at summerne er konvergent

Jeg har ikke kunnet få bjælken med specialtegn til at virke, så jeg har ikke kunnet bruge sumtegnet

Svar #10
29. oktober 2015 af hammer26 (Slettet)

Okay, så er jeg med for b_n

Men kan du forklare mig på samme måde for a_n ?

Er a_n = $\sum_{n=1}^{\infty } (-1)^{n}\frac{1}{(n-1)} + \sum_{n=1}^{\infty } (-1)^{n}\frac{1}{n}$

Jeg er ikke med på anden del?

Brugbart svar (0)

Svar #11
29. oktober 2015 af peter lind

Den første sum kan ikke starte for n=1 Der findes et bevis for at den alternerende række ∑(-1)ⁿ/n er konvergent. Grænseværdien er faktisk ln(2); men beviset er ret langt og jeg kan ikke huske det udenad.

Svar #12
29. oktober 2015 af hammer26 (Slettet)

Men hvordan ser du at a_n er konvergent ?

Jeg kan godt se at det ikke gælder for n=1 i første led. Men forstår ikke hvordan du ser det med konvergensen?

Brugbart svar (0)

Svar #13
29. oktober 2015 af peter lind

Som nævnt i #11 findes, der et bevis for dette. Jeg har simpelthen set dette bevis for mange år siden og kan altså huske resultatet.

Svar #14
29. oktober 2015 af hammer26 (Slettet)

Forstår stadig ikke hvordan jeg afgør om den er absolut eller betinget konvergent eller om den er divergent.

Svar #15
29. oktober 2015 af hammer26 (Slettet)

$\frac{1}{n}$ er da divergent, hvordan kan $(-1)^{n}\frac{1}{n}$ så være konvergent med mindre at leibnitz kriterium er anvendt.

og den numeriske værdi af $(-1)^{n}\frac{1}{n}$ er divergent.

Så leddet $(-1)^{n}\frac{1}{n}$ er betinget konvergent

Svar #16
29. oktober 2015 af hammer26 (Slettet)

Kan jeg omskrive den første så den kommer til at hedder $\sum_{n=2}^{\infty }(-1)^{n-1}*\frac{1}{n-1}$ så er b_n positiv for alle n tilhørende N. b_n aftager monotont og b_n konvergerer mod nul.

Mens den numeriske værdi må være divergent så igen er der betinget konvergens.

Så er den oprindelige række betinget konvergent

????????

Brugbart svar (0)

Svar #17
29. oktober 2015 af peter lind

Jeg er kommet i tanke om at der findes en sætning, der siger, at hvis a_n ->0 for n -> ∞ og a_n er skiftevis positiv og negativ så er ∑a_n konvergent.

Du kan også se i #0 hvor afsnitssummen er angivet.

Hvis du ser i #0 med rettelse i #2 går denne sum kun fra n=2.

Skriv et svar til: Absolut konvergent eller betinget konvergent

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.