Matematik

koordinatsystem i rummet

29. oktober 2015 af skolehjælp1 (Slettet) - Niveau: A-niveau

I rummet er givet et koordinatsystem med begyndelsespunkt O(0 , 0 , 0). Planen α er bestemt ved, at den indeholder O samt punkterne A(6 , 4 , 0) og B(-3 , 2 ,12).

a) Bestem en ligning for α.

b) Beregn arealet af trekant OAB.
c) Planen β er bestemt ved ligningen 4x +12y + 5z + 298 = 0. Beregn den spidse vinkel mellem α og β.
d) Beregn koordinatsE^ttet til projektionen af A pA^ β.

har fået a) til 2x-3y+z=0, men kan ikke rigtig komme videre her fra.

Brugbart svar (0)

Svar #1
29. oktober 2015 af mathon

b)
Trekantsarealet er halvdelen af det af vektorerne $\overrightarrow{OA}$ og $\overrightarrow{OB}$ udspændte areal:

$A_{\Delta OAB}=\frac{1}{2}\cdot \left | \overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB} \right |$

Brugbart svar (0)

Svar #2
29. oktober 2015 af mathon

c)
Den spidse vinkel mellem α og β er den sidse vinkel mellem deres normalvektorer.

Svar #3
29. oktober 2015 af skolehjælp1 (Slettet)

men det giver jo en vektor og ikke et tal i opgave b?

Brugbart svar (0)

Svar #4
29. oktober 2015 af mathon

$A_{\Delta OAB}=\frac{1}{2}\cdot \left | \overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB} \right |=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{48^2+(-72)^2+24^2}=\frac{1}{2}\cdot 24\sqrt{14}=12\sqrt{14}$

…
_kommentar
$\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}$ _{er en vektor}

$\left |\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB} \right |$ _{er længden af vektoren dvs en talværdi}

Svar #5
29. oktober 2015 af skolehjælp1 (Slettet)

når jo! er med nu - hvad så med d?

Brugbart svar (0)

Svar #6
29. oktober 2015 af mathon

d)
Beregn først A's afstand til planen β.

Brugbart svar (0)

Svar #7
29. oktober 2015 af mathon

$\overrightarrow{OA_{proj}}=\overrightarrow{OA}-d\cdot \frac{\overrightarrow{n}}{\left | \overrightarrow{n} \right |}$ da ligger i $\beta \, 's$ positive halvrum.

Brugbart svar (0)

Svar #8
29. oktober 2015 af mathon

$d=\frac{\left | 4\cdot 6+12\cdot 4+5\cdot 0+298 \right |}{\sqrt{4^2+12^2+5^2}}=2\sqrt{185}$

Brugbart svar (0)

Svar #9
29. oktober 2015 af mathon

korrektion:

$\overrightarrow{OA_{proj}}=\overrightarrow{OP_o}+\overrightarrow{P_oA}-d\cdot \frac{\overrightarrow{n}}{\left | \overrightarrow{n} \right |}$ hvor $P_o\left(\frac{149}{2},0,0\right)$ ligger i $\beta .$

Brugbart svar (0)

Svar #10
29. oktober 2015 af mathon

glem #9 (det var regnefejl)

Skriv et svar til: koordinatsystem i rummet

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.