Konvergens af Fourierrække

f(t) er differentiabel i det indre af intervallet og den afledede har en grænseværdi for t gående mod endepunkterne. Så er rækken konvergent. I endepunkterne vil den gå mod middelværdien af funktionsværdien

Du vil vel ikke være rar at vise det som eksempel? Jeg forstår ikke hvad det er jeg skal gøre for at bevise de to ting.

Jeg benytter en sætning om konvergens af fourierrækker. Det kan selvfølgelig være, at du ikke kender den; men så må der bruges en anden sætning. Jeg ved ikke hvilken du kender så du må nok slå op i din bog for at se hvilken sætninger om konvergens, du kender.

Med hensyn til et eksempel kunne jeg bruge den opgave som er i #0; men det vil næppe hjælpe dig. I din graf skal du gå ud fra at den bliver gentaget efter 2π og inden -2π. Du vil så se at det er en differentiabel funktion undtagen i disse punkter

Jeg må sige at jeg ikke fatte min lærebog ret meget. Jeg er en af dem som forstår det bedre når jeg får gennemgået et eksempel hvor teorien bruges, desværre.

Hvis du stadig gider hjælpe mig, hvordan ville du så gribe det an hvis du havde den u(t) funktion fra #0 og skulle vise om Fourierrækken konvergerer for u mod u(t) for alle t ∈]-π;π[ ? Og hvad den konvergerer mod for t=π ?

Altså angående det første spørgsmål, så konvergerer den mod u(t) for alle t ∈ ]-π;π[ fordi funktionen er stykvis differentiabel i alle punkter undtagen i π og -π ?

#5 Det er lige netop den sætning jeg brugte. Funktionen er jo ikke bare stykvis differentiabel. Den er differentiabel i hele det åbne interval

Okay, så er jeg med på den første.

Kan du hjælpe mig med den anden så også hvis t=π?

Hvis t=π så er den ikke en del af intervallet, men hvad konvergerer den imod ?

Kan du hjælpe mig med det sidste her ?

Det er egentlig også den samme sætning; men i en mere fuldstændig form. Den siger at i diskontinuerte punkter konvergerer rækken mod middelværdien i det diskontinuerete punkt. I denne opgave er funktionen -udvidet så den er periodisk-   diskontinuert i endepunkterne. Så gænseværdien er middelværdien i endepunkterne

Okay, er der en måde at regne den middelværdi ud på ?

Jeg skal så bruge middelværdien en det diskontinuerte punkt π som ikke en en del af det definerede interval.

Jeg skal bruge grænseværdien u(-π) + u(π) *1/2 = 0

Så konvergerer den mod 0 for t = π ???

ja. der skal nu stå Så konvergerer den mod 0 for t -> π

Tusind tak for hjælpen