Matematik

Det karakteristiske polynomium

08. november 2015 af gluck123 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hvordan gribes denne opgave an? Hvad starter jeg med?

Brugbart svar (0)

Svar #1
08. november 2015 af Lubas (Slettet)

Kig på faktoren på hhv. den 2. afledte, første afledte og nulte afledte, og opskriv en andengradsligning, som løses.

(a) bliver x^2+4x+4 = 0

(b) bliver x^2+4x+40 = 0

Find ud af hvor mange rødder der er i disse polynomier, og find den tilsvarende løsning i din bog. (Der er tre forskellige situationer; r₁ =! r₂, r₁ = r₂ (dobbeltrod) og komplekse rødder)

Svar #2
08. november 2015 af gluck123 (Slettet)

Hvad mener du med r1 =! r2, r1 = r2

Brugbart svar (0)

Svar #3
08. november 2015 af Lubas (Slettet)

Når du løser de karakteristiske polynomier kan der opstå tre situationer

(i) Rødderne er forskellige fra hinanden

(ii) Rødderne er identiske (altså en dobbeltrod). Dvs. grafen for polynomiet 'kysser' x-aksen.

(iii) Der er kun komplekse løsninger.

Brugbart svar (0)

Svar #4
08. november 2015 af mathon

sættes
$y=e^{rt}$

har man
$y{\, }'=re^{rt}$ og $y{\, }''=r^2e^{rt}$
og dermed
i (a)
$r^2e^{rt}+4re^{rt}+4e^{rt}=0$

r^2+4r+4=0 som er karakterligningen
(r+2)^2=0

r=-2

$y(x)=\left ( C_1+C_2x \right )e^{-2x}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
08. november 2015 af mathon

(b)

r^2+4r+40=0 karakterligningen
$r=\left\{\begin{matrix} -2+6i\\-2-6i \end{matrix}\right.$

$y(x)=e^{-2x}\left ( C_1\cdot \cos(6x)+C_2\cdot \sin(6x) \right )$

Brugbart svar (0)

Svar #6
08. november 2015 af mathon

(c)

2r^2+5r+3=0 karakterligningen
$r=\left\{\begin{matrix} -\tfrac{3}{2}\\-1 \end{matrix}\right.$

$y(x)= C_1e^{-\tfrac{3}{2}x}+C_2e^{-x}$

Skriv et svar til: Det karakteristiske polynomium

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.