Andengradsfunktion

Emne: Andengradsfunktioner 
10. aflevering 
Rapport: Landbrug 

Forestil dig, at du er landmand. Det er forår, så køerne skal snart på græs. Du skal derfor lave en indhegning. Der er dog et lille problem. Du har nemlig kun 150 meter hegn til indhegningen. 

1) Du vil først prøve at lave en rektangulær indhegning. Spørgsmålet er, hvor lange siderne skal være, for at køerne har det største areal. 

Jeg ved at længden er 150 m, fordi  at den maksimale omkreds muligt i mit rektangel er 150 m.
Jeg vil starte med at beregne siden 

O=2*(a+b)
150=2a+2*150
150-2*a=2*150
((150-2*a)/(2))=((2*150)/(2))
solve(((150-2*a)/(2))=((2*150)/(2)),a) ? a=−75

ud fra det vil jeg finde d
a=-75  b=150 og c=

d=b^(2)-4ac
d=150^(2)-4*−75*0 ? 22500
d=150^(2) ? 22500
d=√(22500) ? 150

Jeg kan nu se at der er to løsninger, da d er større end 0

x1=((-b^(2)+√(d))/(2a))
((−150^(2)+√(22500))/(2*−75)) ? 149
x2=((-b^(2)-√(d))/(2a))
((−150^(2)-√(22500))/(2*−75)) ? 151

Lav en matematisk model for problemet. Du kan f.eks. kalde den ene sidelængde for x og den anden for y. Du kan nu opstille to ligninger. Den ene har noget med arealet at gøre, og den anden har noget med den samlede længde af hegnet at gøre. 

Jeg vil beregne y udfra at jeg jo kender omkreds som er 

O=2*(x+y)
150=2*(x+y)
150=2x+2y
150-2x=2y
((150-2*x)/(2))=((2*y)/(2))
75-x=y ? 75-x=y

y=75-x

Brug disse ligninger til at finde de sidelængder, der gør arealet størst muligt. (Hint: Isolér y i den ene ligning og indsæt udtrykket for y i den anden ligning). 

Omkreds af rektangel: 150 m = 2(a+b) (husk: a,b =! 0) <=> a = 150/2 - b = 75 - b 

Areal af rektangel : A = ab  <=> A = (75 - b)b = 75b - b²

Nu har vi udtrykt arealet kun vha. b. Dette kan lade sig gøre, fordi det er et rektangel, og den ene sidelængde er 'bundet' af størrelsen på den anden, da du har en begrænset mængde hegn. 

A(b) = -b² + 75b

A'(b) = -2b + 75 (sur parabel, dvs. A'(b) = 0 er et globalt maksimum)

A'(b) = 0 solve for b. 

A'(b) = -2b + 75 (sur parabel, dvs. A'(b) = 0 er et globalt maksimum)

hvordan kommer du frem til dette

A(b) er en sur parabel, da koefficienten a er negativ, -1

A'(b) er A(b) differentieret

Når A'(b) = 0 finder du toppunktet for A(b), da tangenthældningen i det punkt er 0. Toppunktet for en sur parabel er globalt maksimum.

det forstår jeg ikke

Ok. Jeg kan ikke forklare det bedre over skrift.

hvordan isolere jeg b skal der ikke laves en forskrift