Matematik

andenordens differentialligninger

12. november 2015 af AlmostDoneO - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg har følgende:

Beregn i hånden den fuldstændige løsning til differentialligningen 5y''(t)-8y'(t)+16y(t)=0

Og bestem herefter den løsning som opfylder at $y(0)=13-2x_{3}$ og $y'(0)=11-x_{2}$ , hvor $x_{3}=4$ og $x_{2}=1$

Er der nogen der vil forklare eller hjælpe med at løse denne opgave? Gerne skåret ud i pap.

Brugbart svar (0)

Svar #1
12. november 2015 af mathon

Karakterligningen er.
5r^2-8r+16=0
med løsningerne
$r=\left\{\begin{matrix} \frac{4}{5}+\frac{8}{5}i\\\frac{4}{5}-\frac{8}{5}i \end{matrix}\right.$
hvorfor løsningen til differentialligningen
er:

$y(t)=e^{\frac{4}{5}t}\cdot \left ( C_1\cos\left ( \frac{8}{5}t \right ) +C_2\sin\left ( \frac{8}{5}t \right ) \right )$

og
$y(0)=5=e^{\frac{4}{5}\cdot 0}\cdot \left ( C_1\cos\left ( \frac{8}{5}\cdot 0 \right ) +C_2\sin\left ( \frac{8}{5}\cdot 0 \right ) \right )$

$1\cdot \left ( C_1\cdot 1+0 \right )=C_1=5$

dvs
$y(t)=e^{\frac{4}{5}t}\cdot \left ( \cos\left ( \frac{8}{5}t \right ) +C_2\sin\left ( \frac{8}{5}t \right ) \right )$

og
$y{\, }'(t)=\frac{4}{5}e^{\frac{4}{5}\cdot 0}\cdot \left ( \cos\left ( \frac{8}{5}t \right ) +C_2\sin\left ( \frac{8}{5}t \right ) \right )+e^{\frac{4}{5}\cdot 0}\cdot \left ( -\frac{8}{5}\sin\left ( \frac{8}{5}t \right )+\frac{8}{5}C_2\cdot \cos\left ( \frac{8}{5}t \right ) \right )$

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! y{\, }'(0)=10=\frac{4}{5}e^{\frac{4}{5}\cdot 0}\cdot \left ( \cos\left ( \frac{8}{5}\cdot 0 \right ) +C_2\sin\left ( \frac{8}{5}\cdot 0 \right ) \right )+e^{\frac{4}{5}\cdot 0}\cdot \left ( -\frac{8}{5}\sin\left ( \frac{8}{5}\cdot 0 \right )+\frac{8}{5}C_2\cdot \cos\left ( \frac{8}{5}\cdot 0 \right ) \right )=$

Brugbart svar (0)

Svar #2
12. november 2015 af mathon

$10=\frac{4}{5}\cdot 1+(1+0)+1\cdot \left ( 0+\frac{8}{5}C_2\cdot 1 \right )$

$10=\frac{4}{5}+\frac{8}{5}C_2$

50=4+8C_2

$C_2=\frac{50-4}{8}=\frac{23}{4}$

$\mathbf{\color{Red} y(t)=e^{\frac{4}{5}t}\cdot \left ( \cos\left ( \frac{8}{5}t \right ) +\frac{23}{4}\sin\left ( \frac{8}{5}t \right ) \right )}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
12. november 2015 af mathon

korrektion for fejltastning:

dvs
$y(t)=e^{\frac{4}{5}t}\cdot \left ( 5\cos\left ( \frac{8}{5}t \right ) +C_2\sin\left ( \frac{8}{5}t \right ) \right )$

og
$y{\, }'(t)=\frac{4}{5}e^{\frac{4}{5}\cdot 0}\cdot \left ( 5\cos\left ( \frac{8}{5}t \right ) +C_2\sin\left ( \frac{8}{5}t \right ) \right )+e^{\frac{4}{5}\cdot 0}\cdot \left ( -\frac{8}{5}\sin\left ( \frac{8}{5}t \right )+\frac{8}{5}C_2\cdot \cos\left ( \frac{8}{5}t \right ) \right )$

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! y{\, }'(0)=10=\frac{4}{5}e^{\frac{4}{5}\cdot 0}\cdot \left (5 \cos\left ( \frac{8}{5}\cdot 0 \right ) +C_2\sin\left ( \frac{8}{5}\cdot 0 \right ) \right )+e^{\frac{4}{5}\cdot 0}\cdot \left ( -\frac{8}{5}\sin\left ( \frac{8}{5}\cdot 0 \right )+\frac{8}{5}C_2\cdot \cos\left ( \frac{8}{5}\cdot 0 \right ) \right )$

Brugbart svar (0)

Svar #4
12. november 2015 af mathon

$10=\frac{4}{5}\cdot 5+(1+0)+1\cdot \left ( 0+\frac{8}{5}C_2\cdot 1 \right )$

$10=4+\frac{8}{5}C_2$

50=20+8C_2

$C_2=\frac{50-20}{8}=\frac{15}{4}$

$\mathbf{\color{Red} y(t)=e^{\frac{4}{5}t}\cdot \left ( \cos\left ( \frac{8}{5}t \right ) +\frac{15}{4}\sin\left ( \frac{8}{5}t \right ) \right )}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
12. november 2015 af mathon

se endvidere
https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1638787

Skriv et svar til: andenordens differentialligninger

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.