Matematik

Afsnitssum f(Pi/2)

14. november 2015 af alfred14 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg skal beregne f(π/2), det er det eneste der står.

Jeg har $f(x) = 1+\frac{1}{2}sinx+\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{2^{n}}cosnx$ som jeg så sætter lig med π/2

så får jeg:

$f(\frac{\pi }{2}), \frac{\pi }{2} = 1+\frac{1}{2}sin\frac{\pi }{2}+\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{2^{n}}cosn\frac{\pi }{2}$

$\Rightarrow \frac{\pi }{2}=1+\frac{1}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{2^{n}}\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{2^{n}} = \frac{\pi }{2}-\frac{3}{2}$

Kan det være korrekt ?

Brugbart svar (1)

Svar #1
14. november 2015 af peter lind

Hvordan kan du sætte summen til π/2 ?

cos(1*π/2) = 0

cos(2*π/2) =-1

cos(3*π/2) = 0

cos(4*π/2) = 1

Brugbart svar (1)

Svar #2
14. november 2015 af Therk

Nej, ikke helt. Observér at cosinusfunktionen i dette tilfælde alternerer med periode 4 på følgende måde:
[0, -1, 0, 1]. Opskrevet har vi:

$\cos\left(n\frac{\pi}{2} \right ) = \begin{cases} 0, & n = 2k-1, k \in \mathbb N \quad (n \text{ ulige}) \\ (-1) ^k , & n = 2k, k \in \mathbb N \quad (n \text{ lige}) \end{cases}$

Dermed kan summen omskrives til:

$\sum_{n = 1} ^\infty \frac{\cos\left( n\cdot \pi/2 \right )}{2^n} = \sum_{k = 1}^\infty \frac 0{2^{2k-1}} + \sum_{k = 1}^\infty \frac{(-1)^{k}}{2^{2k}}$

og den kan du så regne. :)

Svar #3
14. november 2015 af alfred14 (Slettet)

Så jeg har

$f(x) = 1+\frac{1}{2}sinx+\sum_{k=1}^{\infty }\frac{0}{2^{2k-1}}+\sum_{k=1}^{\infty }\frac{(-1)^{k}}{2^{2k}}$ , sætter jeg så bare det lig med $\frac{\pi }{2}$ , pga $f(\frac{\pi }{2})$ ?

Kan jeg udelade det første led og skrive $\sum_{k=1}^{\pi }\frac{(-1)^{k}}{2^{2k}}=\frac{\pi }{2}-\frac{3}{2}$ eller skal det andet led også med ?

Jeg er kommet i tvivl nu!

Brugbart svar (1)

Svar #4
14. november 2015 af peter lind

Du kan ikke bare smide de 1+½sin(π/2) væk og stadig: Hvad giver dig lov til bare at sætte f(π/2) = π/2

Svar #5
14. november 2015 af alfred14 (Slettet)

Nej det har du ret i. Det er jo helt forkert. Det kan jeg da godt se nu. Men jeg havde nu heller ikke smidt de 1+½sinx væk. Det er dem der giver -3/2. Det jeg mente var det sum led hvor der står 0 øverst. Men jeg har misforstået opgaven.

Jeg skal bare sætte π/2 ind på x plads. og så får jeg, håber jeg,

$f(\frac{\pi }{2}) = 1+\frac{1}{2}sin\frac{\pi }{2} + \sum_{k=1}^{\infty }\frac{0}{2^{2k}}+\sum_{k=1}^{\infty }\frac{(-1)^{k}}{2^{2k}} = \frac{3}{2}+ \sum_{k=1}^{\infty }\frac{0}{2^{2k}}+\sum_{k=1}^{\infty }\frac{(-1)^{k}}{2^{2k}}$

Brugbart svar (1)

Svar #6
14. november 2015 af peter lind

Ja men der er ingen grund til at beholde det midterste led. Det giver jo 0

Brugbart svar (0)

Svar #7
15. november 2015 af Therk

Den sidste sum kan du i øvrigt vise er lig -1/5. :)

Observér vha. alm. potensregler

$2^{2k} = (2^2)^k = 4^k$

og så har vi

$\frac{(-1)^k}{2^{2k}} = \left(\frac{-1}{4} \right )^k$

Og da

$\lvert-1/4 \rvert < 1$

kan du bruge at

$\sum_{k = 1} ^\infty ar^k = \frac {ar}{1-r}, \quad \lvert r\rvert < 1$

Med det kan du få et meget simpelt udtryk for f(π/2) :)

Brugbart svar (0)

Svar #8
15. november 2015 af hammer26 (Slettet)

Jeg er desværre ikke lige med på hvad ar er for noget?

Brugbart svar (1)

Svar #9
15. november 2015 af Therk

Hov, undskyld, det var ikke pænt af mig bare at antage at det gav mening. Ovenstående sum:

$\sum_{k = 1}^\infty ar^k$

er en generel geometrisk række, hvor a er en konstant og |r| < 1 - hvis din række kan skrives på den form, så gælder ovenstående lighed. Det resultat burde du have i din kalkulus-bog (eller den bog du bruger på nuværende tidspunkt).

I dit tilfælde er a = 1 og r = -1/4.

Skriv et svar til: Afsnitssum f(Pi/2)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.