Afsnitsum - Fourier

16. november 2015 af Møø (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

For en given 2pi-periodisk og stykkevis differentiabel funktion f, sæt

$\varphi(x):=f(-x)$

Vis at

$(S_{N}\varphi)(x)=(S_{N}f)(-x)$

Vink: Kald Fourierkoefficienterne for f og $\varphi$ for henh. $c_{k}$ og $d_{k}$ , og vis først at $d_{k}=c_{-k}$ .

Jeg er kommet så langt som:

$(S_{N}\varphi)(x)=\sum_{k=-N}^{N}d_{k}e^{ikx}$ , hvor $d_{k}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\varphi(x)e^{-ikx}dx$

$(S_{N}f)(-x)=\sum_{k=-N}^{N}c_{k}*e^{-ikx}$ , hvor $c_{k}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(-x)e^{-ik(-x)}dx$

$d_{k}$ :

$d_{k}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\varphi(x) e^{-ikx}dx=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(-x) e^{i(-k)x}dx=c_{-k}$

Har så

$(S_{N}\varphi)(x)=\sum_{k=-N}^{N}e^{ikx}d_{k} =\sum_{k=-N}^{N}e^{ikx}c_{-k} =\sum_{k=-N}^{N}e^{ikx}\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(-x)e^{-ikx}dx$

men aner ikke, om det er rigtigt, eller hvordan jeg kan komme videre.

Brugbart svar (0)

Svar #1
17. november 2015 af peter lind

Jeg vil bruge substitution. ∫_-π^πφ(x)e^-kxdx = ∫_-π^πf(-x)e^-k*xdx

brug så substitutionen t = -x dt= -dx grænserne skifter samtidig fortegn, Man får så

-∫_π^-πf(t)e^ktdt = ∫_-π^πf(t)e^-(-k)tdt

Skriv et svar til: Afsnitsum - Fourier

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.