Fysik

Vekselstrøm

11. december 2015 af Julsnart (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej alle.

Jeg sidder pt og knokler med min SRP i dansk og fysik, hvor jeg skriver om vindenergi. Jeg er nu kommet til vekselstrøm og sidder fast i dét med effektværdi og middelværdi.

Er der en venlig sjæl, der kan forklare mig disse begreber? Ydermere hjælpe mig udlede nogle formler for at bestemme værdierne. Jeg har fået udleveret et dokument, men der står kun følgende om effektværdi:

Jævnstrøm: P = R·I²

Vekselstrøm: P = 1/T ₀ ∫^TR·i² dt

dP = Ri²dt

Samlet: I = √ 1/T ₀ ∫^Ti² dt

Det giver umiddeltbart ingen mening for mig - og jeg vil naturligvis gerne vise overblik ved at kunne forklare den endelige formel og dets led.

Mvh.

Brugbart svar (1)

Svar #1
11. december 2015 af mathon

Du skal vide, hvad tidsmiddelværdien $I_{eff}$ over en periode er.

${I_{eff}}^2=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}i^2\textup{dt}$

${I_{eff}}^2=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}({I_m}^2\cdot \sin^2(\omega t))\textup{dt}$

her
sættes
$\varphi =\omega t$ og dermed $\frac{1}{\omega }\textup{d}\varphi=\textup{dt}$

som ved substitution
giver:
${I_{eff}}^2=\frac{{I_m}^2}{\omega T}\int_{0}^{2\pi } \sin^2(\varphi )\textup{d}\varphi$

${I_{eff}}^2=\frac{{I_m}^2}{4\pi }\int_{0}^{2\pi } \left (1-\cos(2\varphi ) \right )\textup{d}\varphi$

${I_{eff}}^2=\frac{{I_m}^2}{4\pi }\cdot \left [ \varphi -\frac{1}{2}\sin(2\varphi ) \right ]_{0}^{2\pi }$

${I_{eff}}^2=\frac{{I_m}^2}{4\pi }\cdot 2\pi =\frac{1}{2}I{_m}^2$

${I_{eff}}=\frac{I{_m}}{\sqrt{2}}$

hvoraf:
$P_{\sim}=R\cdot{ I_{eff}}^2\cdot T$ for én periode
er:

$P_{\sim}=\frac{1}{T}\cdot R\cdot\frac{{ I_{m}}^2}{2}=\frac{1}{2T}\cdot R\cdot {I_m}^2$

Brugbart svar (0)

Svar #2
11. december 2015 af mathon

rettelse:

hvoraf

$P_{\sim}=R\cdot{ I_{eff}}^2$

$P_{\sim}= R\cdot\frac{{ I_{m}}^2}{2}=\frac{1}{2}\cdot R\cdot {I_m}^2$

Svar #3
11. december 2015 af Julsnart (Slettet)

#1
Du skal vide, hvad tidsmiddelværdien $I_{eff}$ over en periode er.

Tak for hjælpen. Et par uddybende spørgsmål:

Mener du ikke her I_m, når det er tidsmiddelværdien?

Desuden; hvordan laver du i² om til I_m²·sin²(w·t)?

Brugbart svar (1)

Svar #4
11. december 2015 af mathon

er jo den harmonisk varierende størrelse

$i(t)=I_m\cdot \sin(\omega t+\varphi _0)$

I_m er amplituden
$\omega$ er vinkelhastigheden
$\varphi _0$ er begyndelsesfasen

Svar #5
11. december 2015 af Julsnart (Slettet)

Okay, det giver god mening.

Hvordan kan det være, at du i integralet bytter T ud med 2π ?

Brugbart svar (0)

Svar #6
11. december 2015 af mathon

Med substitutionen, substitueres grænserne også:

$\begin{matrix} T\rightarrow &\omega T=2\pi \\ 0\rightarrow &\omega\cdot 0=0 \end{matrix}$

Brugbart svar (0)

Svar #7
11. december 2015 af mathon

alment har man
med
t=g(x) og $\textup{dt}=g{\, }'(x)\textup{dx}$

$\int_{a}^{b}F(g(x))g{\, }'(x)\, \textup{d}x=\int_{\alpha =g(a)}^{\beta =g(b)}F(t) \textup{d}t=\left [ F(t) \right ]_{\alpha }^{\beta }=F(\beta )-F(\alpha )$

Svar #8
11. december 2015 af Julsnart (Slettet)

Hej igen Mathon - og tak for din hjælp. Det hjælper virkelig!

Et sidste spørgsmål, så har jeg vist forstået det hele:

#1
${I_{eff}}^2=\frac{{I_m}^2}{4\pi }\int_{0}^{2\pi } \left (1-\cos(2\varphi ) \right )\textup{d}\varphi$

${I_{eff}}^2=\frac{{I_m}^2}{4\pi }\cdot \left [ \varphi -\frac{1}{2}\sin(2\varphi ) \right ]_{0}^{2\pi }$

Hvordan kan du omskrive sin²(φ) til 1-cos (2φ)?

Burde det ikke være: 1-cos²(φ)?

Brugbart svar (0)

Svar #9
11. december 2015 af mathon

$\cos(2x)=1-2\sin^2(x)$
$2\sin^2(x)=1-\cos(2x)$

$\sin^2(x)=\tfrac{1}{2}(1-\cos(2x))$ som kan integreres "direkte", hvilket $\sin^2(x)$ ikke kan!

Brugbart svar (0)

Svar #10
11. december 2015 af hesch (Slettet)

Effektivværdi og middelværdi for en vekselstrøm er to forskellige størrelser, i ovenstående blandet sammen ved: "Tidsmiddelværdi af I_eff".

Middelværdi, I_mid = 1/T ₀∫^T abs( I(t) ) dt.

I_mid benyttes ved beregninger i ensrettere og vekselrettere. I_eff benyttes ved effektberegninger.

Forholdet I_eff / I_mid ≈ 1,11 ved sinusform, og betegnes ved strømmens eller spændingens formfaktor.

Mathon: Notationer som I~ , U~ i meningen vekselstrøm og vekselspænding er dybt uheldige, for det betyder normalt I_konjugeret og U_konjugeret . I det ovenstående benytter du P~ ( hvilket ingen mening giver ), men jeg har set at du også benytter notationen for strøm og spænding, hvilket giver en direkte forkert mening.

Svar #11
11. december 2015 af Julsnart (Slettet)

#4
er den harmonisk varierende størrelse

$i(t)=I_m\cdot \sin(\omega t+\varphi _0)$

er amplituden
$\omega$ er vinkelhastigheden
$\varphi _0$ er begyndelsesfasen

Hvorfor regner vi ikke med φ₀? Har den værdien 0, eller?

Brugbart svar (0)

Svar #12
12. december 2015 af hesch (Slettet)

Du kan godt sætte φ₀ til en arbitrær værdi ≠ 0. Du skal så blot integerere fra φ₀ til T+φ₀ , resultatet giver det samme, for T er en hel periode.

Svar #13
12. december 2015 af Julsnart (Slettet)

#12
Du kan godt sætte φ₀ til en arbitrær værdi ≠ 0. Du skal så blot integerere fra φ₀ til T+φ₀ , resultatet giver det samme, for T er en hel periode.

Tak for svar. Men hvorfor medtages φ₀ så ikke i formlerne? Se #1, hvor Mathon løber gennem udregningerne. Der skriver han blot " (...) sin²(ω · t) "

Brugbart svar (0)

Svar #14
12. december 2015 af hesch (Slettet)

φ₀ medtages ikke fordi det ikke gør nogen forskel.

Sæt φ₀ til hvad du vil, gør som skrevet i #12, og du får det samme resultat.

Hvorfor dog tage φ₀ med i formlen, når den er uden betydning?

Man beregner fx I_eff over en periode ( ikke fx over π perioder ) fordi kurveformen så eksakt gentager sig selv i de følgende perioder. Hvordan du placerer/tidsforskyder denne periode/tidsinterval på din kurveform er ligegyldigt, blot kurveformen i tidintervallet gentager sig. Derfor er φ₀ ligegyldig i denne sammenhæng.

sin(φ₀) = sin(φ₀+2π). Det samme gælder for cos.

Skriv et svar til: Vekselstrøm

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.