Fysik

Bevægelsesligninger på vektorform

14. december 2015 af tau49 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Jeg har fået en opgave der lyder

Opstil de grundlæggende bevægelsesligninger på vektorform for en planet i en stjernes gravitationsfelt, og vis, at en jævncirkelbevægelse udgør en løsning til dem.

Jeg skal bare lige have hjælp til at gå igang med opstillingen af bevægelsesligningerne.

Brugbart svar (0)

Svar #1
14. december 2015 af mathon

Når planeten befinder sig meget langt væk fra andre planeter
og Stjernen befinder sig i (0,0,0).

$-\underbrace{\underset{massetiltr\ae kning}{G\cdot \frac{M_s\cdot m_p}{\left |\overrightarrow{r} \right |^3}\cdot \overrightarrow{r}}}=-\underset{centripetalkraft}{\underbrace{m_p\cdot \omega ^2\cdot \overrightarrow{r}}}$

Svar #2
14. december 2015 af tau49 (Slettet)

Jeg kan godt forstå den med centripetalkraften men kan du forklare hvordan du er kommet frem til massetiltrækningen på vektor form.

Brugbart svar (1)

Svar #3
14. december 2015 af mathon

cirkelbevægelse:

$\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix} r\cos(\varphi (t))\\ r\sin(\varphi (t)) \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{v}=\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{OP}}{\mathrm{d} t}=\begin{pmatrix} -r\sin(\varphi (t)\cdot \dot\varphi (t) \\ r\cos(\varphi (t)) \cdot \dot\varphi (t) \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{a}=\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{v}}{\mathrm{d} t}=\begin{pmatrix} -r\cos(\varphi (t))\cdot \dot\varphi (t)^2-r\sin(\varphi (t))\cdot \ddot\varphi (t)\\ -r\sin(\varphi (t))\cdot \dot\varphi (t)^2+r\cos(\varphi (t))\cdot \ddot\varphi (t) \end{pmatrix}$

som for en jævn cirkelbevægelse
med
$\varphi (t)=\omega t$ $\frac{\mathrm{d} \varphi }{\mathrm{d} t}=\dot\varphi (t)=\omega$ og $\frac{\mathrm{d}^2 \varphi }{\mathrm{d} t^2}=\ddot\varphi (t)=0$
giver

$\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix} -\omega ^2r\cos(\omega t)\\ -\omega ^2r\sin(\omega t) \end{pmatrix}=-\omega ^2\cdot \overrightarrow{OP}$

Brugbart svar (1)

Svar #4
14. december 2015 af mathon

$\underset{skalar}{\underbrace{\left (G\cdot \frac{M_s\cdot m_p}{\left |\overrightarrow{r} \right |^2} \right )}}\cdot\underbrace{\underset{retningsenhedsvektor}{\left ( -\frac{\overrightarrow{r}}{\left | \overrightarrow{r} \right |} \right )}}=-G\cdot \frac{M_s\cdot m_p}{\left |\overrightarrow{r} \right |^3}\cdot \overrightarrow{r}$

Svar #5
14. december 2015 af tau49 (Slettet)

Tak for hjælpen :D

Svar #6
15. december 2015 af tau49 (Slettet)

Jeg har lige et spørgsmål mere jeg skal vise hvordan de bevægelses ligninger leder til Keplers 3. lov som set nedenfor

T^2=konstant*a^3

$konstant=\frac{4\pi^2}{G(M+m)}$

og udled et udtryk for konstanten

det hele er stadig i en jævncirkelbevægelse

Brugbart svar (1)

Svar #7
15. december 2015 af mathon

$\frac{G\cdot M_{s}}{a^2}=\omega ^2\cdot a$ med $\omega =\frac{2\pi }{T}$

$G\cdot M_{s}=\left ( \frac{2\pi }{T} \right ) ^2\cdot a^3$

$G\cdot M_{s}=\frac{4\pi^2 }{T^2} \cdot a^3$

$T^2=\frac{4\pi^2 }{G\cdot M_{s}} \cdot a^3$

I ovenstående er der set bort fra planetens tiltrækning af stjernen. Medregnes denne, kan det vises, at udtrykket langt mere nøjagtigt bliver:

$T^2=\frac{4\pi^2 }{G\cdot \left (M_{s} +m_p \right )} \cdot a^3$

Svar #8
15. december 2015 af tau49 (Slettet)

Tusind tak for hjælpen :D

Skriv et svar til: Bevægelsesligninger på vektorform

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.