Kovarians - Cov(1+X,Y-2X)

Har du prøvet at anvende definitionen af kovarians, som du selv har skrevet?

Så er det bare at lave en masse algebra. Brug at de er uafhængige.

Jeg vil lige nævne at jeg personligt ofte foretrækker at benytte omskrivningen af kovariansen Cov(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y], altså så det her er:

,

på den måde synes jeg det ser lidt mere overskueligt ud. Det er en smagssag og jeg ville blot lige nævne det :)

Jeg forstår ikke helt omskrivning i #2, så har forsøgt med #1. 

Det kniber lidt med forståelsen... Jeg skal udregne det tal der fremkommer inde i E[...] og så finde middelværdien af det tal?!?

Jeg prøver i første omgang at regne venstre side, altså (1+X-E[1+X])...

E[1+X] = E(X) +1 = 3

Så er jeg i tvivl om hvad det egentlig er jeg gøre ved den første del; 1+X?

Er også i tvivl om hvad jeg skal med nedenstående når både X og Y indgår. 
E[Y-2X] = 3/16-2*2 = - 61/16

Husk at en middelværdi blot er et integrale, og der gælder at integralet af en sum er lig summen af integraler (givet det er endeligt). Det betyder at

E[ X + Y ] = E[ X ] + E[ Y ]

Du gør det i forkert rækkefølge. Gang først parenteserne i #1 ud og reducer så. Helt almindelig algebra; hvis det skræmmer dig med de fancy symboler, så skift dem ud med a,b,c etc. indtil du har ganget parentesen ud. Fra gymnasiet lærte vi at gange parentesen herunder ud. Det kan du stadig :)

(a+b+c)(d+e+f) = ?

#2 gælder, men det skal du selvfølgelig overbevise dig selv om, og måske skal du bare her koncentrere dig om at arbejde det slavisk igennem som herover foreslået. Så kan det altid blive simplere, når du forstår det.

Du skriver bare igen, hvis du har flere spørgsmål - især hvis det her er helt sort snak.

(1+X-E[1+X]) (Y-2X-E[Y-2X]) =

Y-2X - E[Y-2X]     +     XY -2X^2-XE[Y-2X]      -     YE[1+X] + 2XE[1+X] + (E[1+X]*E[Y-2X])

Kan ikke se det kan reduceres? :)

Mht. middelværdien, så regner jeg den som summen= 1*2/5+2*1/5+3*2/5 = 2, så ikke umiddelbart et integral?
 

Men ja.. jeg er lidt lost....

Yes, så har du ganget ud. Vent med at sætte værdierne ind endnu. Nu kan du så yderligere splitte alle dine middelværdier op jf. mit forrige indlæg:

E[X+1]] = E[X] + E[1]

Husk at E[a] = a for alle konstanter a.

Split led ad og gang sammen. Fx dit sidste led i #5:

E[1+X]*E[Y-2X]) = 1*E[Y] + E[X]E[Y] -2E[X] - 2E[X]E[X]

Y-2X - E[Y-2X]     +     XY -2X^2-XE[Y-2X]      -     YE[1+X] + 2XE[1+X] + (E[1+X]*E[Y-2X])

Y-2X - (E[Y] + E[-2X])     +     XY -2X^2-X(E[Y] +E[-2X])      -     Y(E[1]+ E[X]) + 2X(E[1]+ E[X]) + 1*E[Y] + E[X]E[Y] -2E[X] - 2E[X]E[X]

Hvad gør jeg så? :)

Noget af det der forvirrer mig er; hvad er eksempelvis Y X? Jeg forstår det når det er E(X) da det bare er middlelværdien. Men X og Y alene??? 

Du skal huske på at du bare har regnet paranteserne sammen, hvis du kigger på dit oprindelige udtryk skal du også tage middelværdien af hele udtrykket! :) Så der kommer ikke til at stå X og Y udenfor en middelværdi! :)

Ja det er også rigtig :) Men hvad gør jeg herfra så?  

E[Y] = 3/16

E[X] = 2

E[-2X] = -4 (?)

SÅ:

Y-2X - (E[Y] + E[-2X])     +     XY -2X^2-X(E[Y] +E[-2X])      -     Y(E[1]+ E[X]) + 2X(E[1]+ E[X]) + 1*E[Y] + E[X]E[Y] -2E[X] - 2E[X]E[X]

= 

Y-2X - (3/16 + (-4))     +     XY -2X^2-X(3/16 + (-4))      -     Y(1+ 2) + 2X(1+ 2) + 1*(3/16) + 2*(3/16) -2*2 - 2*2*2

?!?

E[-2X]=-2E[X]=-4 er korrekt.

Og, at indsætte de kendte værdier er en god ide, du kan nok reducere udtrykket lidt, og så tage middelværdien på det? :)

E[-2X] = -2*E[X] = -2*2 = -4, korrekt.

Du skal tænke på middelværdier som integraler, som jeg nævnte tidligere; husk at middelværdien af en stokastisk variabel med tæthed er defineret som

hvor er den mængde, hvor X er defineret. Fra integralregning i gymnasiet lærte du at

Derfor er også

for en konstant a.

I dit tilfælde kan det lade sig gøre at beregne E[XY], da vi har et endeligt antal udfald for hver.

(Middelværdien er vægtning gange sandsynlighed) Brug herover at de igen er uafhængige, så

Jeg kan reducere til  E[-2*Y+4*X-61/8+X*Y-2*X^2-X(-61/16)]

Men jeg kan se at E[X] =  Σ(i =1 til 3) xi*px(x1) = 1*2/5+2*1/5+3*2/5 = 2

Er E[3X) så = 3*2/5+6*1/5+9*2/5 = 6 = 3E[x] ???

Jeg kan klart anbefale dig at lære LaTeX-typesetting - især til dit studie, men også så din opsætning af spørgsmål bliver lettere læselig.

Ang. dit spørgsmål i #12, så se det indenterede i #11 - her svarer jeg lige nøjagtig på det spørgsmål.

#12

Jeg kan reducere til  E[-2*Y+4*X-61/8+X*Y-2*X^2-X(-61/16)]

Pænere skrevet:

Ligheden gælder per lineariteten af expected value, se #11.

Disclaimer: Jeg har ikke kontrolleret om du har regnet rigtigt op til #12.

E[Y] = 7/4 og ikke 3/16, hvilket er Var[Y].

Her er udregningen til dit spørgsmål:

Cov(1+X,Y-2X) = Cov(X,Y) – 2 · Cov(X,X)

= Cov(X,Y) – 2 · Var(X)

= (E(XY) – E(X) · E(Y)) – 2 · Var(X)

= (7/2 – 2 · 7/4) – 2 · 4/5 = -8/5