Matematik

Lineær differentialligning

07. januar 2016 af 102938475 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej

Jeg har en opgave, som omhandler differentialligningen y'+a(x)y=b(x) , der ser således ud:

Bestem i hvert tilfælde nedenfor den ønskede partikulære løsning:

$a) y'+\frac{1}{x}y=x^{3}, y(1)=2$

$b) y'+2y=e^{-x}, y(0)=3$

c) y'+2xy=x, y(0)=1

Jeg ved, at den fuldstændig løsning til den type af differentialligning ser således ud:

$y(x)=e^{-A(x)}*\int e^{A(x)}*b(x)dx+e^{-A(x)}*c$ , hvor c er en konstant

Jeg har kommet frem til de følgende løsninger:

$a) y(x)=\frac{1}{5}x^{4}+\frac{1}{x}*\frac{9}{5}$

$b) y(x)=(e^{-x^{2}})^{2}*e^{x}*2$

$c) y(x)=\frac{1}{2}+e^{-x^{2}}*2$

Passer resultaterne? Hvis ikke kan i vise mig, hvor fejlen ligger, for ellers forstår jeg ikke hvordan man finder løsningen.

På forhånd tak :-)

Brugbart svar (0)

Svar #1
07. januar 2016 af Soeffi

#0. Jeg får dette i Geogebra:

Vedhæftet fil:Screen Shot 2016-01-07 at 8.34.18 PM.png

Svar #2
07. januar 2016 af 102938475 (Slettet)

Det får jeg også (Bare i maple). Bortset fra, at ved b'eren siger Maple, at det er $y(x)=(e^{x}+2)*e^{-2x^{2}}$ . Men min lære vil have os til, at lave det i "håndkræft". Jeg kan bare slet ikke komme til det samme :(

Håber I kan hjælpe mig

Brugbart svar (0)

Svar #3
07. januar 2016 af Soeffi

b) y' + 2y = e^-x : her er a(x) = 2 og A(x) = 2x. b(x) = e^-x.

y = e^-2x· int[ e^-x·e^2x dx ] + c·e^-2x =>

y = e^-2x · int[ e^x dx ] + c·e^-2x =>

y = e^-2x · e^x + c·e^-2x =>

y = e^-x + c·e^-2x

For løsningen gennem (0,3) gælder: 3 = e⁰ + ce^-2·0 => 3 = 1 + c => c = 2.

Dette giver løsningen y = e^-x + 2·e^-2x

Svar #4
07. januar 2016 af 102938475 (Slettet)

Mange tak :D

Kunne du måske også hjælpe med de to andre. Jeg kan nemlig stadigvæk ikke finde fejlen.

Brugbart svar (0)

Svar #5
07. januar 2016 af Soeffi

#4

a) er rigtig!

Svar #6
07. januar 2016 af 102938475 (Slettet)

Hvad med c)?

Brugbart svar (0)

Svar #7
07. januar 2016 af Soeffi

I c) er a(x) = 2x og A(x) = x². b(x) = x.

y = e^{-x^2} · int[ x·e^{x^2} dx ] + c·e^{-x^2} =>

y = e^{-x^2} · e^{x^2}/2 + c·e^{-x^2} =>

y = 1/2 + c·e^{-x^2}

For løsningen gennem (0,1) fås: 1 = 1/2 +c => c= 1/2.

Dette giver y = 1/2 + (1/2)·e^{-x^2}

Brugbart svar (0)

Svar #8
07. januar 2016 af mathon

c)
$y(x)=\frac{1}{2}e^{-x^2}+\frac{1}{2}$

Svar #9
07. januar 2016 af 102938475 (Slettet)

Mange tusinde tak! :D

Skriv et svar til: Lineær differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.