Matematik

Overflade areal omkring x-akse

27. januar 2016 af dextoo9r (Slettet) - Niveau: A-niveau

Et omdrejningslegeme omkring x-aksen har følgende formel:

$A_{_{x}}=2\pi \int_{a}^{b}f(x)\cdot \sqrt{1+f'(x)^{2}}dx$

Så skal jeg forsøge at bevise hvorfor dette er sandt.. men jeg kan ikke forstå hvordan den sidste del er fremkommet (altså ledet med kvadratrod).Nogen bud?

Brugbart svar (0)

Svar #1
27. januar 2016 af peter lind

se http://mathworld.wolfram.com/SurfaceofRevolution.html og https://en.wikipedia.org/wiki/Surface_of_revolution

Brugbart svar (0)

Svar #2
27. januar 2016 af AskTheAfghan

Sketch of proof: Betragt sådan en situation, der ligner en cylinder, hvor højden og radius er hhv. h og r. Vi kigger på overfladearealet af cylinderen uden top og bund.

O = Cirklens omkreds · Højden = 2πr · h.

Lad os sige, at grafen f strækker fra a til b, så kan du se at f(x) = r for alle x i [a, b], og højden h er grafens længde på [a, b], dvs. h = b - a. Hvis du deler intervallet op i lige lange delintervaller af meget kort længde d, så har du hvert overfladeareal nemlig O_i := 2π f(x_i) √(1 + f '(x_i)²) d. Her kan du se, at √(1 + f '(x_i)²) er grafens længde, hvor afstanden på x-aksen er 1.

O = 2π f(x) (b - a) ≈ O₁ + O₂ + .... + O_n = _i=1∑ⁿ O_i for x_i i [a, b] og 1 ≤ i ≤ n.

Hvis d går mod nul, vil _i=1∑ⁿ O_i gå mod _a∫^b 2π f(x) √(1 + f '(x)²) dx.

Brugbart svar (0)

Svar #3
27. januar 2016 af Soeffi

#0

Du kan gå ud fra en tegning som den nedenstående.

Som du kan se har en lille del af kurven tilnærmelsesvis længden $\sqrt{(dx)^2+(df(x))^2}$ . Dette kan omskrives til :

$\sqrt{(dx)^2+(df(x))^2}=\sqrt{1+(\frac{df(x)}{dx})^2}\;dx=\sqrt{1+[f'(x)]^2}\;dx$

Nu skal man rotere dette linjestykke om x-aksen langs en cirkel med radius f(x). Den keglestub, som man får har tilnærmelsesvis den krumme overflade:

$2\pi\cdot f(x)\cdot \sqrt{1+[f'(x)]^2}\;dx$

Dette udtryk skal integreres fra a til b.

Vedhæftet fil:Untitled.png

Skriv et svar til: Overflade areal omkring x-akse

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.