Matematik

Dobbeltintegraler

27. februar 2016 af TineS94 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej, jeg kunne virkelig godt bruge noget hjælp til den her opgave, jeg kan ikke rigtig få hul på den.

Beregn volumet af området, som ligger over xy-planet, indeni cylinderen x²+y²=4 og under planet z = x+y+4.

På forhånd tusind tak for hjælpen. :)

Svar #1
27. februar 2016 af TineS94 (Slettet)

Opgaveformuleringen på engelsk er vedhæftet her..

Vedhæftet fil:opg2.PNG

Brugbart svar (0)

Svar #2
27. februar 2016 af Therk

Benyt afgrænsningerne

$0 \leq z \leq x+y+4$

$0 \leq x^2+y^2 \leq 4$

fra kravene. Omskriv evt. til polære koordinater.

Svar #3
27. februar 2016 af TineS94 (Slettet)

Men hvad skal jeg så integrere over?

Tænkte umildbart selv at det var funktionen Z der skulle integreres..

Men hvordan skulle dette sættes op i et dobbeltintegrale?

er det så først dz og så d(x²+y²).. og hvordan før man det? Har kun arbejdet med mere simple dx dy og ikke rigtig polære koordinater endnu.

Brugbart svar (0)

Svar #4
28. februar 2016 af Therk

For en volumen, tænk tripelintegrale: Integrér i hver retning.

I kartesiske koordinater, integrér funktionen f(x,y,z) = 1, dvs. enhedsterningen. Intuitivt skal vi lægge infinitesimalt små terninger sammen til de dækker området. Med de i #1 nævnte uligheder giver det integralegrænserne

$\begin{align*} 0 &\leq \boldsymbol z \leq x+y+4 \\ -\sqrt{4-y^2} &\leq \boldsymbol x \leq \sqrt{4-y^2} \\ -2&\leq \boldsymbol y \leq 2 \end{align*}$

til integralet:

$V = \int_{-2}^2 \int_{-\sqrt{4-y^2}}^{\sqrt{4-y^2}} \int_0 ^{x+y+4} 1\, \mathrm dz \, \mathrm dx\, \mathrm dx$

$\rule{7cm}{0.4pt}$

Alternativt, fordi ingen gider at gøre ovenstående i hånden, da det er ufatteligt grimt, kan du beregne integralet med cylindriske koordinater. Benyt

$\begin{align*} r &= \sqrt{x^2+y^2}\\ x &= r \cos(\theta) \\ y &= r\sin(\theta)\\z &= z \end{align*}$

Integrér over funktionen f(r,θ,z) = r. Intuitivt, integrer radius for alle dets værdier og rundt i cirklen. Det giver tripelintegralet

$V = \int_0^{2\pi}\int_0^2\int_0^{r(\cos(\theta)+\sin(\theta))+4} r \, \mathrm dz\, \mathrm dr\,\mathrm d\theta$

Brugbart svar (0)

Svar #5
28. februar 2016 af Soeffi

Rumfanget må vel være ca. 2²·π·4 = 16π.

De 4 i formlen er højden over x-y planen, hvor det skrå plan skærer cylinderens symmetriakse.

Vedhæftet fil:2.png

Brugbart svar (0)

Svar #6
28. februar 2016 af Therk

... og det skal vel vises formelt :)

Men ja, det er altid en god ide at tegne sine afgræsninger, hvis muligt! Det giver en indikation om man har regnet rigtigt!

Skriv et svar til: Dobbeltintegraler

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.