Sandsynlighed og kombinatorik

Se video nr. 5 og 6 på denne videoliste [ LINK ]

Tak for det, det giver lidt mere mening nu. Dog har jeg stadig et spørgsmål omkring de to ens: 

   To ens                            

   (20·19·2)/(2·1)          

Såvidt jeg har forstået så dividerer man med antal kombinationsmuligheder, for at forsikre, at man ikke får de samme tal med blot i en anden rækkefølge, når rækkefølgen er underordnet. 

Men så vidt jeg kan se, har man ved tilfældet med to ens følgende kombinationsmuligheder: 

aab        baa        aba 

altså burde der divideres med 3 og ikke blot 2? 

 #0. Første led: man skal vælge tre ens bogstaver, det kan gøres på 20 måder. Ingen af de 20 er ens, så man kommer ikke til at tælle noget flere gange. De siger: først vælger du et bogstav (20 muligheder). Dernæst vælger du det samme (1 mulighed) og det samme (1 muliged). Antal måder de hver især kan forekomme på er 1, som der divideres med.

Andet led. Her siger de: man vælger det første bogstav frit (20 mulige) og det næste som et, der er forskellig fra det første (19 mulige). Dernæst vælger man det tredje som et, der er lig med et af de to andre (2 mulige). Dette giver 20·19·2 muligheder. De to første bogstaver kan optræde på to måder, så man får samme kombinationer, hvis man starter med det bogstav, der var nummer to i et foregående tilfælde og fortsætter med det bogstav, der var nummer et i samme eksempel. Dvs. man skal dividere med 2 for at tage hensyn til denne gentagelse.

Det tredje led følger de formler, der gennemgås i videoerne. Du skal tage en tre-delmængde af tyve elementer, i dette tilfælde uden tilbagelægning, da det i dette under-tilfælde forudsættes, at alle bogstaver er forskellige. Formlen for det er K(20,3), hvilket svarer til sidste led.

Formlen for udtagelse med tilbagelægning er i øvrigt: H(n,r) = [(n+r-1)!] / [(n-1)!·r!]. Indsættes n = 20 og r = 3 får man: [(20+3-1)!] / [(20-1)!·3!] = 22!/(19!·3!) = 1540.

Ved hjælp af opgavens formel får man: 20 + 20·19 + (20·19·18)/6 = 1540.

Tusind tak fordi du har taget dig tid til at skrive så langt et svar og forklare det så fint! 

Men jeg har desværre stadig lidt svær ved andet led

Det her forstår jeg godt: 

"Andet led. Her siger de: man vælger det første bogstav frit (20 mulige) og det næste som et, der er forskellig fra det første (19 mulige). Dernæst vælger man det tredje som et, der er lig med et af de to andre (2 mulige). Dette giver 20·19·2 muligheder."

Men dette her har jeg stadig svært ved at forstå:

De to første bogstaver kan optræde på to måder, så man får samme kombinationer, hvis man starter med det bogstav, der var nummer to i et foregående tilfælde og fortsætter med det bogstav, der var nummer et i samme eksempel. Dvs. man skal dividere med 2 for at tage hensyn til denne gentagelse.

Måske kan du skrive kombinationerne ud? For sådan som jeg ser det, kan man stadig få de her tre kombinationsmuligheder med 2 ens bogstaver: 

aab        baa         aba

Jeg forstår alt det andet, men det her kan jeg simpelthen ikke få til at give mening.

 #4. Det afhænger af, hvordan man tæller. I opgavens måde optræder nogle kombinationer flere gange, i den som du lægger op til sker det faktisk ikke med mindre man tæller rækkefølger i stedet for kombinationer. 

Lad os sige, at vi ser på kombinationer, hvor der indgår to a'er + et andet bogstav, to b'er + et andet bogstav osv... Hvis vi tæller sådan får vi alle kombinationer en gang og vi behøver ikke dividere med noget. Vi får: 19 kombinationer med to a'er, 19 med to b'er ... 19 med to t'er. Med 20 bogstaver i alt giver det 19·20 kombinationer, der er det samme som i opgaven idet: 20·19·2/(1·2) = 19·20.

Alle kombinationer er talt en gang, fordi der er 19 med to a'er, og der kan ikke optræde kombinationer med to a'er blandt de øvrige, idet der er ikke nok bogstaver i en kombination til, at det kan lade sig gøre. Det med at dele med 3 kommer som sagt på tale, hvis man starter med at se på alle mulige rækkefølger i samme måde at tælle på: 

         aab aba baa  ...  aat ata taa   = 3·19 rækkefølger
         ... (18 rækker udeladt)
         tta tat att        ...  tts tst stt       = 3·19 rækkefølger

Dette giver: 3·19·20 rækkefølger, som skal deles med 3 for at få antal kombinationer.