Matematik

Sumtegn i integral

15. marts 2016 af Heptan - Niveau: Universitet/Videregående

$\int_{-\infty}^{\infty}u_i(x)^*\hat{H} \sum_{i} c_i u_i (x) \textup{dx}= \int_{-\infty}^{\infty}u_i(x)^*\hat{H} u_j(x) \textup{dx} \ c$

c er vektoren af ekspansionskoefficienterne c_i. Hvorfor gælder lighedstegnet?

Brugbart svar (0)

Svar #1
15. marts 2016 af peter lind

Det er jo reelt a( b1+b2+b3++) = a*b1+a*b2+a*b3 +++. At hele smøren skal integrere ændrer ikke på det

Svar #2
15. marts 2016 af Heptan

Hvordan ser vektoren c ud?

Er u_j(x) bare en anden notation for Σ_i u_i(x) ?

Brugbart svar (0)

Svar #3
15. marts 2016 af peter lind

Det skal jeg vide mere om opgaven, hvis jeg skulle kunne svare på det

Svar #4
15. marts 2016 af Heptan

Schrödinger ligningen:

$\hat{H}\psi (x) =E \psi (x)$

Hamilton operatoren:

$\hat{H} = - \frac{\hbar}{2m} \frac{d^2}{dx^2}+V(x)$

hvor V er et potential.

Bølgefunktionen Ψ(x,t) kan udvides i et sæt af tidsuafhængige basis funktioner u_i(x),

$\psi (x) =\sum_{i} c_i u_i (x)$

Indsættes denne udvidelse i Schrödinger ligningen kan man udlede den generaliserede egenværdi ligning. Der præmultipliceres med u_i(x)^* (* angiver kompleks konjugation (hvad betyder det?)), og der integreres over alle x. Man kommer i så fald frem til ligningen

Hc = ESc

hvor c er vektoren for udvidelseskoefficienterne c_i, og matricerne H og S er defineret

$H_{ij} = \int_{-\infty}^{\infty}u_i(x)^* \hat{H}u_j (x) \textup{dx}$

$S_{ij} = \int_{-\infty}^{\infty}u_i(x)^*u_j (x) \textup{dx}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
15. marts 2016 af peter lind

c_i er nogle komplekse tal for hvilket det gælder ∑|c_i|² = 1

u_j(z) er u_i(x) hvor indekse i er udskiftet med j. Resuultatet af beregningeren er så et element m_i,j i matricen M

hvis du har et kompleks tal c = a+i*b er den kompleks konjugerede c* = a-i*b

Svar #6
15. marts 2016 af Heptan

Hvorfor kan man bare sige at ∑_iu_i(x) = u_j(x) ?

Brugbart svar (0)

Svar #7
15. marts 2016 af peter lind

Venstre side betyder u₁+u₂+u₃+ ... højre side for eks. u₃ for j=3

Svar #8
15. marts 2016 af Heptan

Men så er de vel ikke lig med hinanden?

Brugbart svar (0)

Svar #9
15. marts 2016 af peter lind

Det er korrrekt

Skriv et svar til: Sumtegn i integral

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.