Matematik

Bestem egenværdi udfra Jacobian matrice

29. marts 2016 af MatematikStuderende - Niveau: A-niveau

Jeg har differentialligningssystemet

$\frac{dH}{dt}=\alpha H-\beta H L$

$\frac{dL}{dt}=\delta L H - \gamma L$

Ved ligevægten $(H_e,L_e)=\left ( \frac{\alpha }{\beta }, \frac{\gamma }{\delta }\right )$ vil Jacobian matricen være $J\left ( \frac{\alpha }{\beta },\frac{\gamma }{\delta } \right )=\begin{pmatrix} 0 &-\frac{\beta\gamma }{\delta } \\ \frac{\alpha \delta }{\beta } &0 \end{pmatrix}$

Heraf kan jeg så ikke se hvorfor egenværdien skal være $\lambda = \pm i \sqrt{\alpha \gamma } \equiv \pm i \omega$ . Nogle som kan forklare mig, eller henvise til noget litteratur?

Brugbart svar (0)

Svar #1
29. marts 2016 af peter lind

Egenværdierne til en matrix A findes som løsningen til ligningen det(A-λE) hvor E er enhedsmatricen, Hvis jeg kalder parameteren i din matrix for a = βγ/δ og b = αδ/β (begge positive) giver det ligningen (-λ)² +ab = 0 hvilket har løsningerne λ. = ±i*kvrod(a*b). Du kan finde det i enhver indføring af egenværdier. Du må da have haft noget om det hvis du får sådan en opgave

Svar #2
29. marts 2016 af MatematikStuderende

Tusind tak.
Det er til AT, og jeg skal lige kort have styr på bare en smule lineær algebra, som jeg ikke har haft meget om før. Det er bare formler osv., som jeg ikke kender/ved hvor de umiddelbart findes.

Skriv et svar til: Bestem egenværdi udfra Jacobian matrice

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.