Matematik

Differentialligningen y'=b-ay

26. april 2016 af gymelev2 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej

Er der nogen der kan hjælpe mig med hvordan man løser denne differentialligning ved at gøre prøve metoden? y'=b-ay

Og er der nogen der kan nogle nemme eksempler på opstilling og løsning af differentialligningsmodeller?

Opgaven er vedhæftet.

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2016-04-26 kl. 16.23.26.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
26. april 2016 af peter lind

Du kan gætte på en løsning. Her kan du gætte på en konstant y = k. Find y' og indsæt dette samt y i differentialligningen. Det giver en ligning i k. Løsning af denne ligning giver så en løsning til differentialligningen. Mere generelt kan du bruge separation af variable se http://ga.randers-hf-vuc.dk/matlex/difflign.html#foerste

Svar #2
26. april 2016 af gymelev2 (Slettet)

Mit spørgsmål er nærmere hvordan jeg løser den vha. "at gøre prøve"-metoden

Brugbart svar (0)

Svar #3
26. april 2016 af mathon

Brugbart svar (0)

Svar #4
26. april 2016 af peter lind

Ved at gøre prøve skal du enten gætte eller få opgivet en løsning. I #1 har jeg skrevet et gæt på en løsning til den aktuelle differentialligning og hvordan man bruger dette gæt til at finde den endelige løsning. Hvis du vil have det mere generelt. Hvis du har differentialligningen y' +a*y = g(x) skal du gætte på en løsning af samme form som højre side: Hvis det er en trigonometrisk funktion skal du gætte på en trigonometrisk funktion. hvis det er et polynomium skal du gætte på et polynomium. I din opgave er højre side netop et polynomium af 0. grad(altså en konstant) og det er derfor jeg gættede på en konstant

Brugbart svar (0)

Svar #5
26. april 2016 af mathon

$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=ay$

$\frac{1}{y}\mathrm{\, d}y=a\mathrm{\, d}x$

$\int \frac{1}{y}\mathrm{\, d}y=\int a\mathrm{\, d}x$

$\ln(\left |y \right |)=ax+C_1$

$y \right =Ce^{ax}$

Svar #6
26. april 2016 af gymelev2 (Slettet)

Okay, tak.

Kan I nogle nemme eksempler på opstilling og løsning af differentialligningsmodeller?

Brugbart svar (0)

Svar #7
26. april 2016 af mathon

$y{\, }'=b-ay$

$y{\, }'+ay=b$ som multipliceres med $e^{ax}$

$y{\, }'\cdot e^{ax}+ae^{ax}y=b\cdot e^{ax}$

$\left (y\cdot e^{ax} \right ){\, }'=b\cdot e^{ax}$ som integreres mht x på begge sider

$\int\left (y\cdot e^{ax} \right ){\, }'\mathrm{d}x =\int b\cdot e^{ax}\mathrm{d}x$

$y\cdot e^{ax} =\frac{b}{a}e^{ax}+C$

$y =e^{-ax}\cdot \left (\frac{b}{a}e^{ax}+C \right )$

$y =Ce^{-ax}+\frac{b}{a}$

Svar #8
26. april 2016 af gymelev2 (Slettet)

Er det sådan man gør prøve?

Brugbart svar (0)

Svar #9
26. april 2016 af peter lind

Nej. Se #4

som eks tag differentialligningen i #5

Du gætter på en løsning af formen y = C*e^kx. Du finder y' = C*k*e^kx. sætter du det ind i differentialligningen får u C*k*e^kx = a*C*e^kx Ved at forkorte med C*e^kx får du k = a så løsningen er y = C*eax

Har du i stedet ligningen y'= a*y+b <=> y'-ay = b gætter du på en konstant som løsning. altså y = k hvilket giver y'=0. Indsat i differentialligningen giver det 0 = a*k+b <=> k = -b/a så en løsning er så y = -b/a

Den fuldstændige løsning er så C*e^ax-b/a

Skriv et svar til: Differentialligningen y'=b-ay

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.