Uniform konvergens af funktionsfølger

11. maj 2016 af SuperManBat - Niveau: Universitet/Videregående

$f_n: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$

$x \rightarrow \frac{x^{2n}}{1+x^{2n}}$

a) Vis at følgen {f_n}n∈N konverger punktvis

b) Beregn afstanden $d_{\mathbb{R}}(f_n,f)$ og afgør om følgen er uniformt konvergent.

c) Der næst indskrænkes definitionsmængden til x ∈ [1 + δ, ∞[ hvor δ > 0. Bevis, at da er funktionsfølgen uniformt konvergent.

I a) får jeg at funktionen konvergerer punktvis mod

$f(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & x \in]-1,1[ \\ 1/2& x=-1,1 \\ 1& x \notin[-1,1] \end{matrix}\right.$

kan nogen hjælpe med spg. b) og c)

jeg tror at det skal være noget med

$\mid f_n-f \mid= \mid \frac{x^{2n}}{1+x^{2n}}-0 \mid$

$\mid f_n-f \mid= \mid \frac{x^{2n}}{1+x^{2n}}-1/2 \mid$

$\mid f_n-f \mid= \mid \frac{x^{2n}}{1+x^{2n}}-1 \mid$

jeg ved ikke hvordan jeg skal finde sup

tak på forhånd

Brugbart svar (0)

Svar #1
11. maj 2016 af peter lind

Sæt det på en fælles brøkstreg for eks. den sidste giver i tælleren x²ⁿ-1-x²ⁿ = -1 . Du har så |f_n-f| = 1/(x²ⁿ+1)

Du skal dernæst undersøge uligheden |f_n-f| < ε. Isoler x²ⁿ i den ulighed og evt. også n. Se efter for hvilken n denne ulighed er opfyldt

Brugbart svar (0)

Svar #2
11. maj 2016 af AskTheAfghan

(Slettet.)

Svar #3
11. maj 2016 af SuperManBat

Jeg har problemer med uligheden $\mid f_n -f \mid < \epsilon$ ikke får et udtryk for for n eller $x^{2n}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
12. maj 2016 af peter lind

Hvis du går videre fra beregningerne i #1 skal du se på uligheden

(x²ⁿ+1) < ε <=> x²ⁿ+1 > 1/ε <=> x²ⁿ > 1/ε-1

Problemet opstår fordi at x²ⁿ => 1 for |x|->1 for enhver fast værdi af n kan du altså vælge et x så x²ⁿ er så tæt på 1 som du ønsker

Skriv et svar til: Uniform konvergens af funktionsfølger

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.