Matematik

Differentiation af gaffelforskrift

03. juli 2016 af 23fdafsdgdsg (Slettet) - Niveau: B-niveau

Hej

I min bog gives et eksempel på, hvordan en gaffelforskrift differentieres. Jeg kan ikke finde ud af at opskrive en gaffelforskrift herinde, så jeg opskriver funktionen på almindelig vis. Den sammensatte funktion hedder f(x). f(x) er sammensat af følgende to funktioner:

h(x)=cos(x) for x<0

$g(x)=sin(x+k) for x\geq 0$

Er funktionen generelt differentiabel, må den være differentiabel i punktet $(x_{0};f(x_{0}))$ , da de to funktionselementer her mødes, og da begge af disse individuelt er differentiable. Jeg ved, at funktionerne skal differentieres således:

h'(x)=-sin(x)

g'(x)=cos(k)

Men jeg er ikke med på, hvorfor man vælger at beholde konstanten k og fjerne x, da:

$f(x)=k\rightarrow f'(x)=0$

$f(x)=ax\rightarrow f'(x)=a$

Med min forståelse burde den afledte funktion da så være:

g'(x)=cos(1)

Jeg accepterer indtil videre, hvad min bog skriver - kan nogen forklare, hvad der sker? Jeg går videre med bogens løsning og undersøger mit problem.

Jeg undersøger, om grænseværdien er ens for x gående mod 0 fra både højre og venstre:

$\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{\Delta y}{\Delta x}=-sin(0)=0$

$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{\Delta y}{\Delta x}=cos(k)$

Hvis de to grænseværdier skal være ens, skal der gælde, at:

$k=\frac{\pi }{2}+n*\pi$

kan her kun være 0 eller 1 ikke? Sådan at:

$k=\frac{\pi }{2} \vee k=\frac{\pi }{2}+\pi$

Brugbart svar (0)

Svar #1
03. juli 2016 af Capion1

Du skriver i indledningen, at f er sammensat af g og h.
f må da enten hedde
g o h eller
h o g

Svar #2
03. juli 2016 af 23fdafsdgdsg (Slettet)

Ups. Det er ikke en sammensat funktion, men to sammenstykkede funktioner.

Brugbart svar (0)

Svar #3
03. juli 2016 af peter lind

Jeg går ud fra at du mener at f(x) = h(x) for x < 0. og f(x) = g(x) for x ≥ 0. Dermed er funktionen differentiabel for x ≠ 0 og der gælder

f'(x) = -sin(x) for x < 0 og f'(x) = cos(x+k) for x >0

For x -> 0- får man f'(x) -> 0 og får x -> 0+ får man f'(x) -> cos(k).

Hvis funktionen skal være differentiabel i 0 må der så gælde 0 = cos(k)

Brugbart svar (0)

Svar #4
03. juli 2016 af mathon

$f(x)=\begin{cases} g(x)=\cos(x)\; for \; x<0\\h(x)=\sin(x+k)\; for\; x\geq 0 \end{cases}$

$f{}'(x)=\begin{cases} g{}'(x)=-\sin(x)\; for \; x<0\\h{}'(x)=\cos(x+k)\; for\; x> 0 \end{cases}$

f(x) er ikke kontinuert i $(0\, ;f(0))$ og derfor ikke differentiabel i $(0\, ;f(0))$ .

Svar #5
03. juli 2016 af 23fdafsdgdsg (Slettet)

#3 Ja, det er det, jeg mener.

#4 Hvorfor kalder du den afledte funktion h'(x) for cos(x+k) og nu ikke cos(k), som det står i min bog?

Brugbart svar (0)

Svar #6
03. juli 2016 af peter lind

#4 om funktionen er kontinuert eller differentiabel i 0 er afhængig af hvad k er

Brugbart svar (0)

Svar #7
03. juli 2016 af Eksperimentalfysikeren

Den afledede af g(x) = sin(x+k) er g'(x) = cos(x+k). Grænseværdien for x gående mod 0 er cos(k).

I #4 er der e påstand om at f(x) ikke er kontinuert. Det er ikke korrekt. Hvis

$k=\frac{\pi}{2} + 2n*\pi$

er funktionen kontinuert for alle hele n.

I #0 skriver du, at funktionen er differentiabel for

$k=\frac{\pi}{2} + n*\pi$

men kun for n=0 og n=1. Det er ikke rigtigt. For n=1 er fuktionen ikke kontinuert, fordi h->1 for x-> 0 og g->-1 for x -> 0. Derimod er f både kontinuert og differentiabel for ALLE lige værdier af n.

Svar #8
03. juli 2016 af 23fdafsdgdsg (Slettet)

#7 Nå ja, selvfølgelig.

Brugbart svar (0)

Svar #9
03. juli 2016 af mathon

f(x) er ikke kontinuert i $(0\, ;f(0))$ og derfor ikke differentiabel i $(0\, ;f(0))$ med mindre $k=\frac{\pi }{2}$

Skriv et svar til: Differentiation af gaffelforskrift

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.