Matematik

Integralregning?

17. juli 2016 af mig234 (Slettet) - Niveau: A-niveau

En funktion f(x)=a*x*(x-2)^2, hvor a>0. Grafen for f og x-aksen afgrænser et område Ma

Bestem for a=1 arealet af området

Hvordan gør man det??

Brugbart svar (0)

Svar #1
17. juli 2016 af mathias1997

Du indsætter a=1 i funktionen og får

$f(x)=x\cdot (x-2)^2$

Du skal bestemme arealet, der afgrænses af f og x-aksen i intervallet a til b.

a = 0

b = funktionen f's skæringspunkt med x-aksen, som du finder ved

f(x)=0

og løser for x

x = 2

Hvoraf du har

b = 2

Du integrerer

$\int_{0}^{2}x\cdot (x-2)^2dx=\frac{4}{3}$

Svar #2
17. juli 2016 af mig234 (Slettet)

Okay tak! Hvordan løser man så:

Bestem a så arealet af området er 20

Brugbart svar (0)

Svar #3
17. juli 2016 af Soeffi

#2
$\\\int_{0}^{2}a\cdot x\cdot (x-2)^2\;dx=20\Rightarrow a\cdot\int_{0}^{2} x\cdot (x-2)^2\;dx=20\Rightarrow \\\;\\ a\cdot\frac{4}{3}=20\Rightarrow a=20\cdot\frac{3}{4}\Rightarrow a=15$

Brugbart svar (0)

Svar #4
19. juli 2016 af mathon

I #1 er det uhelidgt, at
tildeles to forskellige værdier samtidigt,
fordi i funktionsudtrykket
$f(x)=a\cdot x\cdot (x-2)^2$
sættes lig med $\mathbf{\color{Red} 1}$
og i
$A_{M_a}=\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x=\int_{\mathbf{\color{Red} 0}}^{b}f(x)\mathrm{d}x$

sættes lig med 0, hvilket kan skabe nogen forvirring.

Derfor:
$f(x)=a\cdot x\cdot (x-2)^2$
som for a=1
giver
$f(x)= x\cdot (x-2)^2$ med nulpunkterne

$x=\left\{\begin{matrix} 0\\2 \end{matrix}\right.$ som er integrationsgrænserne

så
$A_{M_1}=\int_{0}^{2}x\cdot (x-2)^2\mathrm{d}x$

$A_{M_1}=\int_{0}^{2}\left (x^3-4x^2+4x \right )\mathrm{d}x$

$A_{M_1}=\left [\frac{1}{4}x^4-\frac{4}{3}x^3+2x^2 \right ]_{0}^{2}=$

$\frac{1}{4}\cdot 2^4-\frac{4}{3}\cdot 2^3+2\cdot 2^2-0$

$4-\frac{32}{3}+8=$

$12-10\tfrac{2}{3}=1\tfrac{1}{3}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
19. juli 2016 af mathon

Generelt:
                          $f(x)=a\cdot x\cdot (x-2)^2$
                   $A_{M_a}=a\cdot \int_{0}^{2}x\cdot (x-2)^2\mathrm{d}x=a\cdot \left ( 1+\frac{1}{3} \right )$
specifikt
                         $20=a\cdot \left ( 1+\frac{1}{3} \right )$

$60=a\cdot \left ( 3+1 \right )$

15=a

Skriv et svar til: Integralregning?

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.