Komplekst føstegrads polynomium

Det løses på samme måde som hvis det var reelt  az+b = 0 <=> z = -b/a   a≠0

(2 - i)z + i = 0 ⇔ (2 - i)z = -i ⇔ ...

Synes at jeg får i/-2+i, og kan ikke rigtigt se at det passer.

Det passer ikke det bliver i/(-2+i)  folæng brøken med -2-i

Ender med z = 2i-1/5 = -1/5+2/5*i

#5

Det er også korrekt :-)

Du kan jo altid gøre prøve..

Husk de parenteser! z er ikke 2i-1/5. Dels har du regnet galt og dels mangler du en parentes. #4 har forsøgt at gøre dig opmærksom på det.

#7 Yes, tak for det! Blev selv klar over det da jeg gennemgik det en ekstra gang. Fik z = (1/5)-(2/5)*i, hvilket ser rigtigt ud. 

Nu jeg har jer kunne i måske svarer på hvordan man kan bevise at z^2=-r hvor er er et reelt tal har løsningerne -isqrt(-r) og isqrt(-r)? Er klar over at man kan sige, at z^2=r har løsningen z=sqrt(r) og da i=sqrt(-1), giver det overstående mening, men kan det forklares anderledes?

Du har ikke fået det rigtigt endnu. Det, du skriver er det samme som 2/25*i.

Du har i/(-2+i), som skal pyntes lidt idet, det ikke er nemt at se, hvor i den komplekse plan, det ligger.

I #4 opfordres du til at forlænge brøken med -2-i. Det giver næsten det, som du skrev i #5. Du skrev: z = 2i-1/5. Her mangler du en parentes om tælleren: z = (2i-1)/5 Derudover har du regnet galt. Når du forlængen med -2-i, skal du gange tælleren med dette tal, så tælleren er i(-2-i) = -2i+1. Nævneren har du korrekt.

Hvis det er forkert i #8 antager jeg at det er fordi at parenteserne er sat forkert. Det som du skrev #9 er der taget højde for i det nye svar i #8. Det jeg mente i #8 var , hvilket stemmer overens med facit listen

Da jeg læste #8, var der ikke noget minus. Sådan som det står nu, er det korrekt.

#11. 

Ja der manglede et minus i et par sekunder efter svaret var indsendt, hvilket lynhurtigt blev rettet da det var fejl slag. Men mange tak for hjælpen og rådet om grundighed!

I #8 omtaler du ligningen z² = -r. Jeg antager, at du her har et positivt reelt  r. Ligningen har to rødder : z= i * sqrt(r) og -i*sqrt(r). Du  kan vise det vedd at gøre prøve, dvs indsætte værdierne én ad gangen i ligningen, f.eks. (i * sqrt(r))² = i²*(sqrt(r))²= -1 * r = -r, og tilsvarende med den anden løsning.

#13 Ja det er rigtigt antaget. Dog var jeg ude efter at vise at der netop kun var to løsninger. :-) - Sådan forstår jeg i hvert fald spørgsmålet jeg kigger på. 

Jeg kan ikke huske beviset, men det er et generelt bevis for at et ntegradspolynomium har netop n rødder. Så vidt jeg husker, er det noget i retning af:

Vi antager, at nultegradsledet, c, ikke er 0. Vi ser så på z-værider, der ligger i en cirkel om 0 og med så stor radius, at P(z) ligger på en lukket kurve omkring c og 0. Denne kurve går n gange rundt om c og 0. Derefter reduceres radius i cirklen. Derved trækkes P(z)-kurven sammen om c. På et tidspunkt begynder den at passere 0, og da der er n vindinger, sker dette n gange.

Det er ret løst skrevet, for jeg kan ikke huske alle detailler. Det er mere end 50 år siden, jeg havde det i gymnasiet.

Eksperimentalfysikeren tænker i svar #15 på algebraens fundamentalsætning, som I måske blev lært i gymnasiet for de 50 år, men bestemt ikke sker længere! :) Hatten af for dig, for at kunne huske et analytisk bevis efter så mange år, det er sejt.

Der findes mange forskellige beviser for den sætning, afhængig af hvilket matematisk område man er stærk i!