Matematik

Hovedargument

18. september 2016 af iforget (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Dette udtryk: $e^{i\frac{7\pi}{4}}$ har et hovedargument der lyder $-45\degree$ . Når jeg laver beregningerne kan jeg dog kun komme til en positiv værdi, dvs. $45\degree$ . Er der nogle der kan forklare hvorfor der skal det negative fortegn på?

Brugbart svar (0)

Svar #1
18. september 2016 af VandalS

$\frac{7 \pi}{4} - 2\pi = -\frac{\pi}{4}$

Brugbart svar (0)

Svar #2
18. september 2016 af Therk

Hvordan kommer du frem til 45º?

For en fuldstændig fremgangsmåde, se herunder. For et heuristisk (og fint dækkende) svar, se #1.

$e^{7i\pi/4} = \cos (7\pi/4) + i\sin(7\pi/4) = \frac {\sqrt2}2 - i \frac{\sqrt2}2$

Argumentet er

$\arg (x+ iy) = \arctan(y/x), \quad \color{red}x>0$

$\arctan(-1)^{\circ} = \Bigl(-\frac \pi4 \Bigr )^{\text{rad}} \cdot \Bigl(\frac {180}\pi \Bigr )^{\text{deg/rad}} = -45^{\circ}$

Svar #3
18. september 2016 af iforget (Slettet)

Ah, tror jeg må følge en forkert fremgangsmåde da. Et andet eksempel, therk;

$6*e^{-i(\frac{3\pi}{2})}=-6i \rightarrow v=cos^-^1(0)= \pi/2$

Er dette rigtigt? Eller er det -pi/2

Brugbart svar (0)

Svar #4
18. september 2016 af VandalS

#3 Du har en fortegnsfejl: $6 \cdot e^{-i(\frac{3\pi}{2})}=6i$ , som du direkte kan se ligger på den positive imaginære akse og derfor har hovedargument $\pi /2$ . Hvis du finder vinklen ved brug af arcsinus eller arccosinus skal du huske at de generelt hver giver to løsninger, da cosinus funktionen er symmetrisk om x-aksen og sinus funktionen om y-aksen. Du skal derfor tjekke at det er den rigtige løsning du vælger, enten ved at bruge både arccos og arcsinus og vælge den værdi de har til fælles, eller ved at bruge anden information såsom hvilken kvadrant taller ligger i.

Svar #5
18. september 2016 af iforget (Slettet)

Ah for satan de fortegn. Tak for hjælpen!

Brugbart svar (0)

Svar #6
18. september 2016 af Therk

Ovenstående jeg brugte i det generelle tilfælde:

$\arg (x+iy) = \begin{cases} \arctan (y/x), & x>0,y \in \mathbb R \\ \arctan(y/x) + \pi, & x<0, y\geq0\\ \arctan(y/x), & x<0, y<0\\ \pi/2, &x = 0, y >0\\ -\pi/2 ,& x = 0, y<0\\ \text{udefineret}& \text{ellers}\end{cases}$

Skriv et svar til: Hovedargument

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.