Matematik
Bevis for sqrt{2}
Hej derude. Jeg skal bevise sekvensen defineret af rekursive relation konvergerer mod kvadratroden af 2.
Opgaven en er godt formuleret på engelsk, men det er også mega svært.
Jeg kan se, at den rekursiv relation konvergerer mod √2, men jeg har ingen clue, hvordan man kan bevise det.
Vil nogen derude hjælpe med opgaven?
På forhånd tak.
Opgaven lyder:
a)Prove that the sequence defined by the recursive relation converges to 
.
The recursive relation:
Hint: The recurrence relation is, in fact, a non-linear difference equation. You may proceed by showing that the sequence is decreasing.
b) What happens if we replace the condition 
with 
Svar #1
23. september 2016 af Eksperimentalfysikeren
Er du sikker på, at du har skrevet rekursionsformlen korrekt? Jeg har prøvet at regne på den og der er problemer med den.
Jeg kender en anden formel, der ligner den. Kan det have været den, du skulle benytte?
,
hvor x0 er startværdien, her 2.
Svar #2
23. september 2016 af Eksperimentalfysikeren
Jeg har ikke nogen løsning på problemer, men et par forslag.
Et første trin i forsøget på at finde et bevis kan være at skrive x i stedet for xn og xn+1 og så løse den fremkomne ligning.
Et andet trin kan være at prøve at udtrykke xn ved xn-1 og indsætte i udtrykket for xn+1, altså se, hvad der sker ved at gå to skridt frem.
Svar #3
23. september 2016 af Rossa
Det er korrekt. Det har jeg programmeret, og det konvergerer mod .
x1 = 2, så x2 = (2/2)+(1/2) = 1.5
x3 = (x2/2)+ 1/x2 = (1.5)/2 +1/(1.5) = 1.416666666666666666
x4 = x3/2 + 1/x3 = 1.416666666666666666 / 2 + 1/1.416666666666666666 = 1.41421568627450980.
Altså formlen er korrekt, og den konvergere mod √2 med 4-5 iterationer.
Hvordan kan det bevises?
Svar #4
23. september 2016 af Eksperimentalfysikeren
Så har jeg det.
Indfør k = sqrt{2} og an = xn-k
an er så afvigelsen mellem den aktuelle xn og grænseværdien k.
Indsæt dette i rekursionsformlen og isoler an+1, idet du udnytter at k2 = 2.
Du får så et ret simpelt udtryk, hvor du kan se, at an konvergerer mod 0.
Har du prøvet med x1 = 1?
Skriv et svar til: Bevis for sqrt{2}
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.