Matematik

Differentialligning

11. oktober 2016 af Tupper01 - Niveau: Universitet/Videregående

Godaften!

Jeg skal finde den fuldstændige løsning til: y'+5*y=e^t vha. panserformlen. Jeg får et resultat, som jeg efterprøver med Maple: $\frac{1}{5}*e^t+c$ , men jeg er ikke sikker på, at det er rigtigt. Er der mon én, der vil prøve at regne det?

På forhånd tak

Brugbart svar (0)

Svar #1
11. oktober 2016 af AMelev

Tjek ved at sætte dit fundne y og y' ind i ligningen og se, om det passer.

Hvad du har gjort? Det lyder, som om det er metoden, du er usikker på - resultatet kan jo tjekkes fx i Maple, som du selv er inde på.

Brugbart svar (0)

Svar #2
11. oktober 2016 af VandalS

Du kan nemt afgøre, hvorvidt en foreslået løsning opfylder differentialligningen ved at gøre prøve. Hvis

$y(t)=\frac{e^{t}}{5}+c, \hspace{0.5cm} t,c\in \mathbb{R}$

får du at

$y'(t)+5y(t)=\frac{e^{t}}{5}+5 \left( \frac{e^{t}}{5}+c\right) \neq e^t$

så er ikke en løsning.

Svar #3
11. oktober 2016 af Tupper01

Jeg bruger, at p(t)=5, P(t)=5t, q(t)=e^t.

Sætter ind i panserformlen:

y(t)=e^-P(t)*int(e^P(t)*q(t)*dt) -> y(t)=e^(-5t)*int(e^(5t)*e^t) -> y(t)=e^(-5t)*1/5*e^(5t)*e^t -> y(t)=1/5*e^t+k

Brugbart svar (1)

Svar #4
11. oktober 2016 af VandalS

Du begår to fejl: For det første skal den arbitrære integrationskonstant c tages med allerede i første ligning, sådan at

$y(t)=e^{-P(t)}\cdot \left( \int{e^{P(t)}\cdot q(t) dt + c }\right )$ ,

for det andet udregner du integralet forkert (husk at det dækker over både $e^{5t}$ og $e^{t}$ ).

Svar #5
11. oktober 2016 af Tupper01

Sådan:

$\frac{1}{6}e^{6t}*e^{-5t}+k$

Brugbart svar (1)

Svar #6
11. oktober 2016 af mathon

$y=e^{-5t}\cdot \int e^{5t}\cdot e^t\mathrm{dt}$

$y=e^{-5t}\cdot \int e^{6t}\mathrm{dt}$

$y=e^{-5t}\cdot\left ( \frac{1}{6}\cdot e^{6t} +C\right )$

$y=Ce^{-5t}+\tfrac{1}{6}e^t$

såfremt er en funktion af

Svar #7
11. oktober 2016 af Tupper01

Tak!

Skriv et svar til: Differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.