Matematik

Planintegraler

08. november 2016 af KaspermedK - Niveau: Universitet/Videregående

Hejsa. Jeg har to opgaver nedenfor:

Spørgsmål til nr. 9.1:

Hvordan skal jeg tegne en skitse over det?

9.2 forstår jeg ikke så meget af. Jeg ved hvad kartesiske koordinater og polære koordinater er, men hvordan jeg skal anvende dem ved jeg ikke.

NB: Formen i bogen på side 154 (5.1) og (5.2) ses her: http://docplayer.dk/170581-Matintro-funktioner-af-flere-variable.html

Brugbart svar (0)

Svar #1
08. november 2016 af Stats

Skitsen:

Du ved, at når:
y = 0, da er 1 - 0 ≤ x ≤ 1
y = 0,5, da er 1 - 0,5 ≤ x ≤ 1
y = 1, da er 1 - 1 ≤ x ≤ 1
y = 1,5, da er 1 - 1,5 ≤ x ≤ 1
y = 2, da er 1 - 2 ≤ x ≤ 1

Altså, du får linjerne
y = 1 - x
x = 1
y = 2

- - -

Mvh Dennis Svensson

Brugbart svar (1)

Svar #2
08. november 2016 af Stats

Kartesiske koordinater --> her anvendes CAS.

Polære form.
Du har f(x,y) = x², defineret på en mængde D = {(x,y)| -1 ≤ x ≤ 0, -√(1-x²) ≤ y ≤ √(1-x²)}
Tranformationen (x,y) = T(r,θ) = (r·cos θ,r·sin θ)
Dermed f(T(x,y)) = r·cos θ

Vi har transformationen af mængden: D' = T(D) = {(r,θ) | r∈[0,1], π/2 ≤ θ ≤ 3π/2}

Dermed:

$\\ \int_{T(D)}f(x,y)\ \mathrm dA=\int_{D}(f\circ T)(r,\theta)J(T(r,\theta))\ \mathrm dA\\ =\int_0^1\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}(r\cdot\cos \theta)^2\cdot r\ \mathrm dr \mathrm d\theta =\int_0^1r^3\ \mathrm dr\cdot\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}\cos^2\theta\ \mathrm d\theta$

Som skal løses.

En lille mellemregning der ikke er vist ovenfor
$J(T)(r,\theta)=\det\begin{vmatrix} \cos \theta & -r\sin\theta\\ \sin\theta & r\cos\theta \end{vmatrix}=r$

- - -

Mvh Dennis Svensson

Svar #3
08. november 2016 af KaspermedK

Har løst 9.1. Der får jeg begge tilfælde til 4/5, men hvordan skal jeg forstå Maple spørgsmålet? Kan du hjælpe?

Brugbart svar (1)

Svar #4
08. november 2016 af Stats

Rettelse...

f(T(x,y)) burde være: f(T)(r,θ) = (r·cos θ)² = r²·cos² θ

- - -

Mvh Dennis Svensson

Brugbart svar (1)

Svar #5
08. november 2016 af Stats

Maple-plot

plot3d(x²y, y = 0..2, x = y - 1..1, filled = true)

- - -

Mvh Dennis Svensson

Svar #6
08. november 2016 af KaspermedK

Kan det passe, at i opg 9.2 at den giver 1/8*pi?

Brugbart svar (0)

Svar #7
08. november 2016 af peter lind

slettet

Svar #8
08. november 2016 af KaspermedK

#7 okay.

#6 jeg får også 1/8*pi vha polære koordinater.

Brugbart svar (0)

Svar #9
09. november 2016 af Stats

Ja... Det giver (1/8)pi i polære - såvel som katesiske koordinater (ellers ville det ikke være en tranformation)

- - -

Mvh Dennis Svensson

Skriv et svar til: Planintegraler

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.