Matematik

Afbilndingsmatrix og basis

13. november 2016 af Anonyminized (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej, jeg har følgende afbildningsmatrix

$A=\begin{pmatrix}3&-1&1&-1\\ \:\:\:-1&3&1&-1\\ \:\:\:1&1&3&1\\ \:\:\:-1&-1&1&3\end{pmatrix}$

Jeg har fundet en ny basis:

$\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}&\frac{1}{6}\cdot \sqrt{6}&-\frac{1}{6}\cdot \:\sqrt{3}\\ \frac{1}{2}&\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}&\frac{1}{6}\cdot \:\sqrt{6}&-\frac{1}{6}\cdot \:\:\sqrt{3}\\ -\frac{1}{2}&0&\frac{1}{3}\cdot \:\sqrt{6}&\frac{1}{6}\cdot \:\:\sqrt{3}\\ \frac{1}{2}&0&0&\frac{1}{2}\cdot \:\:\sqrt{3}\end{pmatrix}$

Hvordan opstiller jeg den nye afbildningsmatrix mht. ovenstående basis?

Brugbart svar (0)

Svar #1
13. november 2016 af fosfor (Slettet)

Hvis det er søjlerne i basismatricen, der er basisvektorer, så oversættes et koordinatsæt x i basen til almindelige koordinater y ved

y = B·x (1)

og den anden vej fås ved at gange B^-1 fra venstre på begge sider:

x = B^-1·y (2)

For at tage afbildningen til basekoordinaterne, skal disse først oversættes til almindelige koordinater ved (1), hvorefter resultater ganges på afbildningen:

A·B·x

Dette resultat er stadig i almindelige koordinater, som oversættes tilbage til basens koordinater via (2):

B^-1·A·B·x

Altså er B^-1·A·B den tilsvarende afbildningsmatrix i basen, hvis det er søjlerne du anser for basiselementer

Svar #2
13. november 2016 af Anonyminized (Slettet)

@Fosfor

Har du noget litteratur til dette?

Jeg har lidt svært ved hvad du mener.

Vil den nye afbildningsmatrix så blot være A multpilceret med basismatricen?

Brugbart svar (0)

Svar #3
13. november 2016 af fosfor (Slettet)

Den inverse basismatrix skal også ganges med:

B^-1·A·B

Literatur: http://www.math.ku.dk/noter/filer/linalg16.pdf

Svar #4
13. november 2016 af Anonyminized (Slettet)

Ah okay så det den her formel:

$B=V^{-1}\cdot A\cdot V$

Hvor at A er den gamle afbildningsmatricen og V er den nye fudne basis... Men når jeg gør det, så får jeg blot:

$\begin{pmatrix}0&0&0&0\\ 0&4&0&0\\ 0&0&4&0\\ 0&0&0&4\end{pmatrix}$

Som jo er egenværdier, for A. Er dette så den nye afbildningsmatrice?

Skriv et svar til: Afbilndingsmatrix og basis

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.