Matematik
Differentialligninger
Man har undersøgt løgfrøens overlevelsessucces i forskellige vandhuller på Djursland. Der er udsat et antal løgfrøhaletudser i hvert vandhul, og derefter har man målt løgfrøhaletudsernes længde hver dag i en periode over 3 måneder. Det har vist sig, at haletudsernes længde som funktion af tiden opfylder nedenstående differentialligning
Hvor St er længden (cm) til tiden t(døgn).
Det oplyses at til tiden t=0 er længden af en løgfrøhaltudse 0,5.
a) Bestem væksthastigheden for længden til det tidspunkt hvor længden af en løgfrøhaletudse er 4 cm.
b) Tegn en skitse af hvorledes væksthastigheden for længden afhænger af længden.
Man har undersøgt løgfrøens overlevelsessucces i forskellige vandhuller på Djursland. Der er udsat et antal løgfrøhaletudser i hvert vandhul, og derefter har man målt løgfrøhaletudsernes længde hver dag i en periode over 3 måneder. Det har vist sig, at haletudsernes længde som funktion af tiden opfylder nedenstående differentialligning
dSt/dt=0,00575*St*(12-St)
Hvor St er længden (cm) til tiden t(døgn).
Det oplyses at til tiden t=0 er længden af en løgfrøhaltudse 0,5.
a) Bestem væksthastigheden for længden til det tidspunkt hvor længden af en løgfrøhaletudse er 4 cm.
b) Tegn en skitse af hvorledes væksthastigheden for længden afhænger af længden.
Til a har jeg fået følgende: 0,00575*4*(12-4)=0,184.
Hvordan laver jeg b'eren?
Svar #1
16. november 2016 af Matkaj
Gang ind i parentesen og opnå¨et 2.grads polynomium hvis graf er en parabel.
Svar #3
16. november 2016 af Matkaj
I dit tilfælde er den uafhængige variabel St. Hvis du vil kan du kalde den for x
Svar #4
16. november 2016 af biotek222 (Slettet)
Så altså det vil svare til at 0,00575x*(12-4)= 0,069+0,023x?
Svar #10
16. november 2016 af Matkaj
Prøv lige at kigge på den oprindelige differentialligning, de tal der indgår er 0,00575 og 12.
Så gang ind i parentesen i dette udtryk:
0,00575x*(12-x)
Svar #11
16. november 2016 af biotek222 (Slettet)
Når, hov
så det bliver altså0,069x-0,00575x^2
Right???
Svar #12
16. november 2016 af Matkaj
RIGHT :)
Så hvis vi kalder dSt/dt (altså væksthastigheden) for y har du ligningen:
y=-0.00575x^2+0.069x for en parabel, som du så skal skitsere.
Svar #13
16. november 2016 af biotek222 (Slettet)
Super, så grenene kommer altså til at vende ned af?
Svar #14
16. november 2016 af Matkaj
Ja, men det skal nok være mere uddybende end det.
Du kan fx. beregne nulpunkter (altså der hvor den skærer x-aksen) og toppunkt, så er du klar til at skitsere i et koordinatsystem.
Svar #15
16. november 2016 af biotek222 (Slettet)
Okay så for at bestemme nulpunkterne skal jeg vel først beregne diskriminanten ikke?
Svar #16
16. november 2016 af biotek222 (Slettet)
Jeg får d=0,069^2-4*0,0057*1=-0,018
Er det rigtigt??
Svar #17
17. november 2016 af Matkaj
Nej, du harsat konstantleddet (altså c) til 1, men der er ikke noget konstantled så c = 0. Derudover har du glemt fortegnet på a.
Du kunne også bruge nulreglen i den oprindelige differentialligning, men hvis det ikke får en klokke til at ringe fortsætter du bare med din metode.
Svar #18
18. november 2016 af biotek222 (Slettet)
Okay, så altså den hedder derfor:
0,069^2-4*0,0057*0= 0,004761
b^2 -4 a c
Diskriminanten er dermed positiv, da d>0: x=(-b+- kvadratroden af d)/2a=
(-0,069+- kvadratroden af 0,004761)/2*0,0057 = x=0 v x=-12,12
Toppunktet = t= (-b/2a, -d/4a) = (-0,069/2*0,0057, 12,12/4*0,0057) = (-6,05, -531,58)?? Lyder det ikke lidt overdrevet?
Og hvordan bruger jeg nulreglen?
Svar #19
18. november 2016 af Matkaj
Det sergodt ud men:
(-0,069+- kvadratroden af 0,004761)/2*0,0057 = x=0 v x=-12,12 indsæt alle decimaler på a og husk fortegnet
Toppunktet = t= (-b/2a, -d/4a) = (-0,069/2*0,0057, 12,12/4*0,0057) = (-6,05, -531,58)?? Igen brug alle decimaler og det er ikke d du har indsat men et af nulpunkterne. Tjek også om du har indsat den rigtige værdi for a (husk fortegnet)
Lad det med nulreglen ligge. Ovenstående skal nok give de nødvendige resultater, når du laver de nævnte ændringer
Svar #20
18. november 2016 af biotek222 (Slettet)
Okay, tror at jeg har den. Så altså : d=0,069^2-4*(-0,00575)*0=0,004761
--> (-0,069+-kvadratroden 0,004761)/2*(-0,00575)= x=0 v x=12
(-0,069+-kvadratroden 0,004761)/2*(-0,00575)= 12 = x=0 v x=12. På parablen skærer på 0 og på 12.
Toppunktet T= (-0,069/2*(-0,00575) = 6 og -0,004761/4*(-0,00575)=0,207 = (6, 0.207). Så den topper altså her