Matematik

Differentialregning

10. marts 2017 af H3h3 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej alle, jeg har følgende opgave:

En rødhåret astronom med stærke briller og en computerstyret10 tommer Schmidt Cassegrain kikkert skal bygge et astronomisk observatorium ovenpå tårnet i sit palæ. Han ønsker et observatorium med cirkulær grundplan, lodrette vægge og et halvkugle formet tag. Øjensynligt er han blevet inspireret af sit ur bagsiden på et Omega Constellation årgang 1955, som vist på figur 1, Han ønsker at bygge observatoriet i kobber, så det matcher hans hårfarve. Blikkenslageren har fortalt ham at flader som krummer i mere end en retning er dobbelt så dyre, som flader der kun krummer i en retning. Der skal også være råd til en dyr motor til at rotere taget for at modvirke jordens rotation. Derfor skal observatoriet dimensioneres så materialeprisen bliver så lille som muligt. Det samlede rumfang af observatoriet skal være 25 m3 . Hvordan skal observatoriet dimensioneres?

Det jeg ikke forstår ved opgaven er, om jeg skal tage udgangspunkt i materialeprisen, altså opstille et udtryk for dette i henhold til overfladearealet, som skal være mindst muligt!

Kunne I forklare mig, om der skal tages udgangspunkt i materialeprisen eller om der ikke skal.

Jeg forstår det såleds at, man skal opstille et udtryk for volumen og overfladearealet og isolere h ud fra det opstilte udtryk for volumen og derefter skal man finde radius i henhold til overfladearealet, differentiere dette, og sætte r ind på udtrykket for højden, og dermed kan man beregne overfladearealet.

Tak på forhånd!

Brugbart svar (0)

Svar #1
11. marts 2017 af StoreNord

Opstil et udtryk for volumen. Sæt det lig med 25. Isolèr h(r).

Opstil et udtryk for udgiften til overfladen. Altså med dobbelt vægt på halvkugle-delen.

Indsæt h(r) i overflade-udgiften.

Differentièr overflade-udgiften.

Brugbart svar (0)

Svar #2
11. marts 2017 af StoreNord

#1 differentiationen gir et extremum på 4. Det kan jo ikke være radius!

Men måske højde? Så er radius = 1,28 meter.

Svar #3
11. marts 2017 af H3h3 (Slettet)

Mit opstilte udtryk for volumen:

Pi*r^2*h+(2*Pi*(1/3))*r^3 = 25

Isolation af h:

h = (25-(2/3)*Pi*r^3)/(Pi*r^2)

Det opstilte udtryk for udgiften til overfladen:

p·(2πr·h + 2·2π·r2)

Jeg indsætter h således at:

p·(2πr·(25-(2/3)*Pi*r^3)/(Pi*r^2) + 2·2π·r2)

Skal jeg differentierer med henhold til h eller r?

Svar #4
11. marts 2017 af H3h3 (Slettet)

Faktisk meget dumt spørgsmål, da man kun kan differentiere i henhold til r og ikke h.

Men når jeg differentierer udtrykket kan jeg ikke få det til at give andet end: p . (-4*(`πr` . (r^2))/r^2-4*(`πr` . (25-(2/3)*Pi*r^3))/(Pi*r^3))

Brugbart svar (0)

Svar #5
11. marts 2017 af StoreNord

Din volumen må være forkert:

volumen: Pi*r^2*h+(2*Pi*(1/3))*r^3 = 25 i første led skal du ha en omkreds gange højden.

Brugbart svar (0)

Svar #6
11. marts 2017 af StoreNord

Næ hov, det er mig der vrøvler og dig der har ret. _Undskyld

Så er løsningen ikke 4.

Brugbart svar (0)

Svar #7
11. marts 2017 af SuneChr

Jeg får, med hensyntagen til at halvkuglen er dobbelt så dyr pr. m² som cylinderfladen er det pr. m²

pris_min = $10\cdot \sqrt[3]{45\pi }=52,0939...$ for r = $\frac{1}{2}\cdot \sqrt[3]{\frac{75}{\pi }}=1,4397...$

prisen som funktion af radius p (r) = $\frac{2}{r}\left ( 25-\frac{2}{3}\pi r^{3} \right )+4\pi r^{2}$

Svar #8
11. marts 2017 af H3h3 (Slettet)

#7
Jeg får, med hensyntagen til at halvkuglen er dobbelt så dyr pr. m² som cylinderfladen er det pr. m²

pris_min = $10\cdot \sqrt[3]{45\pi }=52,0939...$ for r = $\frac{1}{2}\cdot \sqrt[3]{\frac{75}{\pi }}=1,4397...$

prisen som funktion af radius p (r) = $\frac{2}{r}\left ( 25-\frac{2}{3}\pi r^{3} \right )+4\pi r^{2}$

Nu undrer jeg mig bare lidt, men vi er vel enige om at man skal opstille et udtryk for volumen, og derefter et udtryk for prisen for overfladearealet. Dermed isolerer man h, og man indsætter h i udtrykket for prisen, bagefter differentierer man hele ligningen ved at sætte det lig med 0. Når man har fundet sin radius, kan man finde sin højde, når man har fundet sin højde indsætter man værdierne ind for det opstilte udtryk for prisen, og finder et resultat som skal give et mindst muligt tal! Er dette korrekt, eller vrøvler jeg?

Brugbart svar (0)

Svar #9
11. marts 2017 af StoreNord

bagefter differentierer man hele ligningen og sætter lig med 0.

Når man har fundet sin radius, kan man finde sin højde, ja

Egentlig er der vist om prisen. radius og højde er vel nok.

Forøvrigt har jeg fundet r til at være:

$\sqrt[3]{\frac{75}{16\pi }}=1,14269$ hvad mener du om dèt?

Brugbart svar (0)

Svar #10
12. marts 2017 af SuneChr

Rumfanget 25 skal holde for ethvert valg af r og h uafhængig af, hvad de enkelte dele koster at dække.
V_cylinder + V_halvkugle = πr²h + ¹/₂·⁴/₃πr³ = 25
Heraf fås
h = 25/(πr²) - ²/₃r    *)
Areal_cylinder = 2πrh    og     Areal_halvkugle = ¹/₂·4πr²
Prisenhed for cylinder = 1 pr. m²   og   prisenhed for halvkugle = 2 pr. m²
Da har vi
pris (r) =  1·Areal_cyklinder + 2·Areal_halvkugle*) h udtrykt ved r indsættes i pris (r)
som vi skal have gjort minimal.

Brugbart svar (0)

Svar #11
12. marts 2017 af SuneChr

# 9
Du mangler ved r en faktor ³√2
jeg ikke kan se, hvor den ikke er kommet ind.

Svar #12
12. marts 2017 af H3h3 (Slettet)

Jeg får min radius til at være

-2.89?

Svar #13
12. marts 2017 af H3h3 (Slettet)

#12
Jeg får min radius til at være:

-2.89?

Svar #14
12. marts 2017 af H3h3 (Slettet)

I sidste ende får jeg en radius på 1.4397 og min jeg sætter radius ind på det opstilte udtryk for højden og får 2.87!

Brugbart svar (0)

Svar #15
12. marts 2017 af SuneChr

Ja, højden er

h = $\sqrt[3]{\frac{75}{\pi }}=2,8794...$
Med denne højde og føromtalte radius er hele observatoriet dækket med materiale til mindst mulig pris.

Brugbart svar (0)

Svar #16
12. marts 2017 af StoreNord

Jeg fandt min fejl. Jeg havde eet sted brugt radius istedet for diameter!

Jeg synes lige jeg vil dele min fine Geogebra-skitse med jer andre. Se vedhæftede.

Vedhæftet fil:En rødhåret astronom.png

Skriv et svar til: Differentialregning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.