epsilon-delta argument

Definition af Riemann-integrabilitet og Bolzanoegenskaben: http://i.imgur.com/XEyAmIH.png

Der ønskes at vise, at hvis f har Bolzano-egenskaben, så er den Riemann-integrabel. Man benytter den ene definition for at komme frem til den anden definition. I starten laves der en analyse, og så benytter man nok definitionen for Bolzano-egenskaben, hvor der for ethvert ε > 0 findes δ > 0 således, at |M - M'| < ε. Til sidst har man fundet frem til, at |I - M| = |M - I| ≤ S(δ) - s(δ) < 2ε. Du er faktisk færdig her. Hvis du alligevel vil have, at det skal hænge sammen til definitionen hvor |I - M| skal være mindre end ε i stedet for 2ε, så skal du blot vælge et δ'' > 0 med δ'' ≤ δ sådan at |I - M| < ε.

#2 Men hvorfor er det nok at vælge et  δ'' ≤ δ?  burde det ikke være δ''= δ/2? Og holder argumentet i så fald stadig, da man jo valgte δ så den netop passede til ε i Bolzano-defintionen?

#3     Du har fundet frem til, at for ethvert ε > 0 findes δ > 0 således at |I - M| < 2ε. Vi ved ikke om δ'' = δ/2 virker, men det er ikke vigtigt at finde ud af det. Du kan altid sikre dig, at der vil findes δ'' > 0 med δ'' ≤ δ (idet δ > 0 er valgt, vil andre mindre tal virke) således, at |I - M| < ε.

#4     Jeg har nok formuleret det dårligt med "... ved ikke om δ'' = δ/2 virker". Selvfølgelig vil δ'' = δ/2 virke, men vi ved ikke, om det er et passende valg for at |I - M| bliver mindre end ε. Hvad nu hvis afstanden kommer til at blive mindre end 1.3ε eller 0.1ε? Det er derfor ikke vigtigt at tjekke hvad δ'' helt præcis skal være for at afstanden bliver mindre end ε. Det er nok med, at man vælger et δ'' > 0 med δ'' ≤ δ som opfylder |l - M| < ε. Et sådant valg af δ'' findes, selvom vi ikke kender den præcise værdi.