Matematik

Komplekse tal

20. april 2017 af Summerella (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej!

Jeg har lidt svært ved at løse komplekse andengradsligninger.

Er der måske én, der kan fortælle mig hvordan man løse denne andengradsligning fx:

z^2=3+4i

På forhånd tak :)

Brugbart svar (0)

Svar #1
20. april 2017 af StoreNord

Det er vist noget med, at du skal omskrive det til polær form. Og så halvere vinklen og ta kvadratroden af modulus.

Brugbart svar (0)

Svar #2
20. april 2017 af StoreNord

Vedhæftet fil:Komplekse tal.png

Brugbart svar (0)

Svar #3
20. april 2017 af Brusebad (Slettet)

Du kan fint gøre som foreslået i #1, men du kan også gøre det her:

z = x + i y

$z = x + i y \\ \text{dvs.} \\ z^2 = x^2 - y^2 + i 2xy \\ \text{hvorfor} \\ x^2 - y^2 + i 2xy = z^2 = 3 + 4i \\ \text{dvs.} \\ x^2 - y^2 = 3 \text{ og } 2xy = 4 \Leftrightarrow xy = 2$

herfra kan du enten "se" løsninger eller fortsætte

$\text{Vi ser at } y \ne 0 \text{så} \\ x^2-y^2 = 3, x = \frac{2}{y}, \\ \frac{4}{y^2} - y^2 = 3 \Leftrightarrow 4 - y^4 = 3y^4 \Leftrightarrow 4 = 4y^4 \Leftrightarrow y = 1 \text{ eller }y = -1 \\ \text{Fra betingelsen } xy = 2 \\ \text{ ser du, at x og y skal have samme fortegn, hvilket leder til loesningerne} \\ z_1 = 2 + i, x_2 = - 2 - i, (\text{altsaa x = 2 og y = i i foerste tilfaelde og x = -2 og y = -1 i andet tilfaelde})$

Brugbart svar (0)

Svar #4
21. april 2017 af SuneChr

Man har en færdig formel for kvadratroden af et komplekst tal:

$\sqrt{a+ib}=\pm \left ( \sqrt{\frac{r+a}{2}}+i\sqrt{\frac{r-a}{2}} \right )\: \: \: \: b> 0\: \: \: \: \: \: \: r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

$\sqrt{a-ib}=\pm \left ( \sqrt{\frac{r+a}{2}}-i\sqrt{\frac{r-a}{2}} \right )\: \: \: \: b> 0\: \: \: \: \: \: \: r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

Skriv et svar til: Komplekse tal

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.